równanie z wartością bezwzględną cezik: a) |x+1|=|2x| b) |x+4|=x c) |x+1|=|1−x²|

PW: a) Liczba x = 0 nie jet rozwiązaniem, co sprawdzamy podstawiając. Wobec tego ograniczamy poszukiwania rozwiązań do zbioru R\{0}. Dla liczb różnych od zera można wykonać dzielenie uzyskując równanie równoważne:

	|x+1|
		= 1
	|2x|

i dalej na podstawie własności wartości bezwzględnej

	x+1
|		| = 1
	2x

	x+1		x+1
		= −1 lub		= 1, x∊R\{0}
	2x		2x

− dalej już łatwo.

cezik: stokrotne dzięki chyba bym na to nie wpadł

PW: Ale można "po chamsku" podnieść obie strony do kwadratu − obie strony są nieujemne, a funkcja kwadratowa jest różnowartościowa dla nieujemnych argumentów − też dostaniesz równanie równoważne. Najgorszym sposobem byłoby "rozważanie na przedziałach" − chociaż też skutecznym.

pigor: ... , np. tak : a) |x+1|=|2x| ⇔ x+1=−2x v x+1=2x ⇔ 3x=−1 v x=1 ⇔ x∊{−¹₃,1} ; −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− b) |x+4|=x ⇔ x∊∅ − równanie nie ma rozwiązań, co odczytuję sobie z wykresów L−ewej i P−rawej strony równania; albo |x+4|=x ⇔ (x+4=x v x+4=−x) i x≥0 ⇔ 0=4 v (2x=−4 i x≥0) ⇔ ⇔ x∊∅ v (x= −2 i x≥0) ⇔ x∊∅ ; −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− c) x+1|= |1−x²| ⇔ |x+1}=|x²−1| ⇔ |x+1|− |x−1||x+1|= 0 ⇔ ⇔ |x+1| (1−|x−1|)=0 ⇔ x+1=0 v 1−|x−1|=0 ⇔ x=−1 v |x+1|=1 ⇒ ⇒ x+1= −1 v x+1=1 ⇔ x= −2 v x=0 , więc x∊{−2,−1,0} . ...

cezik: czyli rozwiązaniem b) jest wyłącznie liczba −2?

pigor: ... to podstaw sobie to −2 do równania i co widzisz

cezik: Racja, my bad. Ostatnie pytanie (odnośnie ostatniego przykładu). W jaki sposób uzyskałeś z wyrażenia x+1|− |x−1||x+1|= 0 postać |x+1| (1−|x−1|)=0 ?

pigor: ..., wyłączyłem |x+1| przed nawias .