Pochodne olkaq: Dane są punkty A(2,−4) i B(8,3). Na prostej y=2x−3 wyznacz taki punkt P, aby suma |AP|²+|BP|² była jak najmniejsza

irena_1: A(2, −4) B(8, 3) P(x, 2x−3) |AP|²+|BP|²=(x−2)²+(2x−3+4)²+(x−8)²+(2x−3−3)²= =x²−4x+4+4x²+4x+1+x²−16x+64+4x²−24x+36= =10x²−40x+105 f(x)=10x²−40x+105 To jest funkcja kwadratowa. Jej wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi w górę. Taka funkcja ma wartość najmniejszą w wierzchołku

	40
xw=		=2
	20

Podana suma jest najmniejsza dla x=2 y=2*2−3=1 P=(2, 1)

irena_1: Jeśli trzeba użyć pochodnych: f(x)=10x²−40x+105 f'(x)=20x−40 f'(x)=0 20x−40=0 x=2 f'(x)<0 dla 20x−40<0, czyli x<2 f'(x)>0 dla 20x−40<0, czyli dla x>2 W punkcie x=2 pochodna zmienia znak z "−" na "+", czyli dla x=2 funkcja przyjmuje minimum lokalne. W tym punkcie funkcja ma wartość najmniejszą. P=(2, 1)