znajdz pozostale pierwiastki wielomianiow luka: znajdz pozostale pierwiastki wielomianow: W(x)=x⁴−2x³+7x²+6x−30 x1= 1−3i

PW: Twierdzenie o pierwiastkach wielomianu o współczynnikach rzeczywistych (jeżeli z jest pierwiastkiem, to również z̅ jest pierwiastkiem). Skoro 1−3i jest pierwiastkiem, to również 1+3i jest pierwiastkiem, zatem wielomian dzieli się przez (z−(1−3i))(z−(1+3i)) = z² −(1+3i)z − (1−3i)z + (1−3i)(1+3i) = z² − 2z + 10. Po podzieleniu W(x) przez x² − 2x + 10 otrzymamy wielomian stopnia drugiego, którego pierwiastki policzymy łatwo (np. za pomocą Δ).

pigor: ..., znajdź pozostałe pierwiastki wielomianu: W(x)=x⁴−2x³+7x²+6x−30, jeśli x₁=1−3i −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ponieważ istnieje wtedy sprzężenie x₂=1+3i spełniający dane równanie,oraz iloczyn x₁x₂=10 i suma x₁+x₂= 2, to wielomian x²−2x+10 dzieli W, czyli W(x)=(x²−2x+10)Q(x), bowiem W(x)= x⁴−2x³+10x²−3x²+6x−30= x²(x²−2x+10)−3(x²−2x+10)= = (x²−2x+10)(x²−3)= (x²−2x+10)(x−√3)(x+√3), a więc odp. 1+3i,−√3, √3 − szukane pozostałe pierwiastki ....