wyznacz plumplum: wyznacz parabolę o kierownicy 2x+4y=6 oraz ognisku (5,5) czy mógłby mi ktoś krok po kroku wytłumaczyć jak zrobić takie zadanie? wraz z objaśnieniami o kierownicy itd.?

plumplum: pomocyy :<

PW: Parabolę można definiować jako zbiór punktów jednakowo odległych od prostej k zwanej kierownicą i punktu F zwanego ogniskiem. W tym zadaniu mamy: − równanie kierownicy k: 2x + 4 y − 6 = 0 − ognisko F = (5, 5). Parabolę tworzą punkty P = (u,v), dla których d(P, k) = |PF|. Po lewej stronie jest wzór na odległość punktu od prostej, po prawej − wzór na odległość punktów; wszystko mamy, by wyrazić równanie paraboli "w języku u i v". Oznaczenie (u, v) przyjęliśmy, żeby nie myliło się z (x, y) − punktem na prostej. Po uzyskaniu wzoru można oczywiście zamiast u i v napisać x i y, żeby było zgodnie z powszechnymi przyzwyczajeniami.

plumplum: wg Twojego wzoru odległość d(P,k) wyszła 8√20/5 ... nie wiem co dalej :(

PW: Miałeś policzyć d(P,k), a liczyłeś d(F,k). Lewa strona nie będzie liczbą, lecz wielkością zależną od u i v − punkt P zmienia się. A dalej liczymy |FP| = √(u−5)² + (v−5)² − zwykły szkolny wzór na odległość dwóch punktów. Przyrównujemy te dwie zmienne wielkości zgodnie ze wzorem d(P,k) = |FP| i przekształcamy tę równość do ładnej postaci.

Help..:

	|2x+4y−6|
d(P,k), to będzie		, przy czym w=√6?
	w

PW: Trzymajmy się już do końca oznaczenia P = (u, v)

	|2u+4v−6|
d(P, k) =
	√22+42

Help..: Racja.

|2u+4v−6|
	=√(u−5)2+(v−5)2
2√5

Reszta to już tylko upraszczanie Dzięki.

dsjokf: Jaki wyszedł końcowy wynik?

dsjokf: bo po podniesieniu do kwadratu i przeniesieniu na jedną stronę wychodzą mi jakieś głupoty

PW: Może to wcale nie są głupoty. Nie należy się spodziewać "ładnego" równania, które na pierwszy rzut oka jest równaniem paraboli. Badana parabola postała np. w wyniku obrócenia "klasycznie położonej" paraboli o pewien kąt. Do tego jeszcze może dodali jakieś przesunięcie. Przekształcenie to spowodowało, że kierownica przyjęła równanie 2x + 4y = 6, a ognisko znalazło się w punkcie (5, 5). Biorąc pod uwagę, że obrót (wokół (0,0), czyli ten najprostszy w zapisie) jest wyrażony wzorami: x' = xcosα + y sinα y' = −xsinα + y cosα łatwo sobie uzmysłowić, że "klasyczna" parabola, np. o równaniu y² = ax po takim obrocie już nie ma "ładnego" równania. Jest nawet jakaś teoria mała − w jaki sposób na podstawie takiego "dziwnego" równania wyliczyć jaka to stożkowa (robi się to mechanicznie, m.in. licząc pewne wyróżniki, nigdy tego nie umiałem).

dsjokf: ale chodzi mi o to, że w równaniu Help podnoszę obie strony do kwadratu i wtedy otrzymuję (2u+4v−6/2√5 )² = (u−5)²+(v−5)² co z tym zrobić

PW: Można zostawić tak jak jest, w końcu to jest jakieś równanie. Można tak jak mówiłeś − podnieść lewą stronę do kwadratu i dokonać redukcji, ale nic pięknego nie będzie, równanie nie będzie krzyczało "jestem parabolą". Już poza zadaniem − spróbuj raz w życiu zrobić to o czym pisałem o 10:09 − wziąć np. parabolę y² = 2x, przesunąć ją o wektor [1, 3] i obrócić o kąt 45°.

dsjokf: czyli równanie z takimi kwadratami mozna tak po prostu zostawić i uznać za równanie paraboli? czy to jest pełne rozwiązanie?

PW: To tak jak z okręgiem: − można zapisać równanie w postaci (x−2)² + (y−3)² = (√2)² − można zapisać w postaci x² + y² − 4x − 6y +11 = 0. Oba równania opisują ten sam twór − okrąg o środku (2, 3) i promieniu √2, z tym że pierwsze równanie pokazuje to jak na dłoni, drugie na pierwszy rzut oka nie pozwala nawet stwierdzić, czy to jest równanie okręgu. Nie można twierdzić, że pierwsze jest lepsze od drugiego − oba opisują ten sam okrąg.