dtdyd zombi: Pokaż, że f(x) = x² jest ciągła dla x∊[0,2]. Tak się pokazuje cały czas dla punktu punktu, a co z przedziałem? Mam po prostu wziąć dowolny x₀∊[0.2] i pokazywać dla niego?

zombi: dd

fx: Aby funkcja była ciągła na przedziale [a;b] musi być ciągła na przedziale (a;b) oraz być prawostronnie ciągła w a i lewostronnie w b. Poza tym znane i powszechnie stosowane jest twierdzenie, że każda funkcja elementarna jest ciągła na każdym przedziale zawartym w swojej dziedzinie.

Saizou : w szczególności końcówka strony http://www.math.edu.pl/ciaglosc-funkcji

zombi: Tak, tylko zakładamy, że nieznane jest twierdzenie "funkcja elementarna jest ciągła...". Dzięki za pomoc! Będę kombinował z tym liczeniem z definicji

zombi: A pokazałby mi ktoś jak pokazać dla tej funkcji i tego przedziału z definicji, że f(x)=x², jest ciągła w przedziale (0,2)? Proszę

WueR: Niech x_n→x₀∊(0,2). Wtedy f(x_n) = x_n² → x₀² = f(x₀), wiec zgodnie z definicja Heinego f − ciagla na (0,2).

zombi: I tyle ?

zombi: Czy wykazując nieciągłość funkcji Dirichleta, wystarczy dobrać takie dwa ciągi a_n, b_n, że a_n,b_n → x₀∊R, ale a_n∊Q, natomiast b_n∊R\Q, wtedy lim 1_Q(a_n) = 1, natomiast lim 1_Q(b_n) = 0, czyli te dwie granice są różne, więc tym bardziej 1_Q jest nie ciągła. Może być?

Godzio: Tak jeśli było udowodnione, że każdą liczbę rzeczywistą możemy przybliżyć ciągiem liczb wymiernych/niewymiernych

Godzio: "przybliżyć" w sensie granicy, może doprecyzuje Każda liczba rzeczywista jest granicą pewnego ciągu liczb wymiernych jak również granicą pewnego ciągu liczb niewymiernych.

zombi: Kurcze nie było tego, ale w sumie inaczej nie wiem jak to pokazać. Mam jeszcze jedno Godzio, zerknąłbyś? Normę definiujemy ||x|| = √x₁² + x₂² + ... + x_n² Natomiast odległość d dla x,y ∊Rⁿ definiujemy, jako d(x,y) = ||x−y||. Uzasadnij, że d jest metryką.

Godzio: Definicja normy sama w sobie zawiera nierówność trójkąta, a to chyba mogło być tu niezrozumiałe.

zombi: Chodzi mi raczej o to, jak uzasadnić fakt, że d jest metryką?

WueR: A wiesz, czym jest metryka? W nierownosci trojkata mozna uzyc nierownosci Schwarza.

zombi: Z wykładu wiem tyle, że "Metryka to d({x_n},{y_n}) = lim d(x_n,y_n)

zombi: To już na wiki jest jaśniej metryką d nazywamy funkcję bla bla, która spełnia warunki: − nierówność trójkąta − symetryczność − d(a,b) ⇔ a=b

zombi: Pytanko co nazywamy metryką zupełną? Bo mam to na liście, ale na wykładzie nie było.

Godzio: (X,d) jest zupełna, jeśli każdy ciąg Cauchy'ego (elementy ciągu należą do X) jest zbieżny do punktu w tej przestrzeni.

zombi: Godzio jeszcze jedno, mógłbyś zerknąć?

	kn
Uzasadnij, że istnieje taki ciąg liczb całkowitych kn, że qn =		→ a i qn jest
	2n

rosnący, gdzie to dowolna liczba R.

Godzio: Rosnący w słabym sensie czy ściśle rosnący bo różnie mówią?

zombi: Tyle tylko mam podane, więc nie powiem ci dokładnie

Godzio: A na wykładzie nie miałeś coś mówione o monotoniczności w słabym sensie np. ? Na razie luźne skojarzenia: Gdyby k_n = [a * 2ⁿ] Granica się zgadza, pytanie czy to zawsze jest rosnące, podejrzewam, że k_n musi zawierać 2ⁿ i a, brakuje mi jeszcze czegoś co by sprawiało, że zawsze mamy ciąg rosnący, może jakieś sgn(a) ?

zombi: Właśnie myslalem podobnie nad [a]*2ⁿ tylko właśnie coś ze znakiem trzeba zrobić.

zombi: a samo sgn(a)*[a]*2ⁿ nie załatwi sprawy?

Godzio: k_n = [a * 2ⁿ] − 1

	[a * 2n+1] − 1		[a * 2n] − 1
qn + 1 − qn =		−		=
	2n + 1		2n

	[a * 2n + 1] − 1 − 2 * [a * 2n] + 2
=		>
	2n + 1

	a * 2n + 1 − 1 − 1 − 2 * a * 2n + 2
>		=
	2n + 1

	a * 2n + 1 − 2 − a * 2n + 1 + 2
=		= 0
	2n + 1

Stąd q_{n + 1} − q_n > 0, a więc q_n rosnący

Godzio: Wydaje mi się, że to nie załatwi, ale sprawdź (w razie co masz mojego gotowca )

WueR: Gdzie Ty studiujesz, ze daja Ci do zrobienia zadania z pojeciami, ktorych nawet nie zdefiniowano?

zombi: Mam po prostu takie wykładowce, który rzuca zadaniami nie podając do nich teorii i tak ćwiczeniowiec musi uzupełniać braki.

zombi: Zastanawiam się Godzio, czy to −1 tam jest potrzebne hmm

Godzio: Tak bo inaczej oszacowanie nie wyjdzie (przynajmniej mi nie wychodziło )

zombi: a*2ⁿ − 1 ≤ [a*2ⁿ] ≤ a*2n tak?

Godzio: Takiego użyłem (w jedną stronę jest nierówność ostra), w przypadku bez −1 nie zadziała.

zombi: Chyba czegoś nie widzę a*2ⁿ − 1 < [a*2ⁿ] ≤ a*2ⁿ | :2ⁿ

	1
a ← a −		< qn ≤ a → a
	2n

Tak?

Godzio: Tak.

zombi: Czyli może być k_n = [a*2ⁿ] ? xd

Godzio:

	[a2n]
Ale to tylko granica jest ok, a potrafisz pokazać, że ciąg qn =		jest rosnący?
	2n

zombi: No przez to szacowanie nie można?

	[a*2n+1]		a*2n+1−1
qn+1 =		>
	2n+1		2n+1

	a*2n−1
qn = ... >
	2n

odejmując stronami

	−1		1		1
qn+1 − qn = ... > (a−a) + (		+		) =		> 0 ?
	2n+1		2n		2n+1

Godzio: Oj na pewno można odejmować nierówności?

zombi: No nie można Już mi się wszystko wali, zostawiam to w spokoju