całka oznaczona z definicji Riemanna zagubiony: Witam serdecznie, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu jednego przykładu z analizy matematycznej− sprawa życia i śmierci: Korzystając z definicji Riemanna oblicz (x jest do potęgi alfa, nie a) a ∫ x^α b dla uproszczenia 0<a<b<nieskończoność, α∊ R i α ≠ −1 Prosiłbym ewentualnie o krótkie wyjaśnienie etc. Naprawdę bardzo ważna sprawa

Janek191: Może tak : a b

	xα+1		bα+1		aα+1
∫ xα dx = − [		] = −(		−		) =
	α + 1		α + 1		α + 1

b a

	aα +1 − bα+1
=
	α + 1

zagubiony: To jest na podstawie twierdzenia a chodziło o rozwiązanie na podstawie definicji

Gray: Czy chodzi Ci np. o coś takiego?

	1		b−a
∫[a,b] f(x)dx = limn→∞		∑k=1,...,nf(a+kh), gdzie h=
	n		n

Gray: Chociaż pewnie lepiej będzie zastosować coś takiego ∫_[a,b]f(x) = lim ∑_k=1,...,n f(aq^k)aq^k−1(q−1), gdzie aqⁿ=b, czyli q=(b/a)^1/n Rozpisz tę sumę: ∑_k=1,...,n f(aq^k)aq^k−1(q−1) dla Twojej funkcji i q=(b/a)^1/n

zagubiony: Tak, chodzi dokładnie o coś takiego jak w tym drugim swoim poście co napisałeś.

zagubiony: Mógłbys to rozpisać? Niestety dla mnie to masakra a termin mam do dzisiaj do godziny 24, dzięki czemu zdobędę kilka cennych punktów. W zamian za to chętnie służę radą i usługami informatycznymi

Gray: Idea jest bardzo prosta, ale ja wymiękam przy zapisie tego... Nie mam teraz na to czasu. Napisałem co należy zrobić; może ktoś Ci pomoże: wystarczy obliczyć sumę (jest to suma ciągu geometrycznego), a potem obliczyć granicę. Jest tu dużo mądrych ludzi gotowych do pomocy...

zagubiony: Mądrzy osobnicy, przybywajcie Odwdzięczę się jak tylko mogę.

Gray: Dla f(x)=x^α mamy ... ∑_k(aq^k)^αaq^k−1(q−1)=a^α+1(q−1)q⁻¹∑q^kα+k = =a^α+1(q−1)q⁻¹∑(q^α+1)^k=... teraz suma ciągu geometrycznego; suma od k=1, do k=n.

Gray: Nikt i nic?

	1−q(α+1)(n−1)
... = aα+1(q−1)q−1qα+1		, gdzie q=(b/a)1/n.
	1−q

Pozostaje obliczyć granicę powyższego wyrażanie dla n→∞. Wiemy ile ma wyjść (patrz wpis z 15:44), pytanie: jak to zgrabnie wykazać. Ja, mimo szczerych chęci, nie mogę Ci dziś już pomóc.

Gray: Byłem przekonany, że ktoś pomocny się znajdzie...