szeregi asd: Obszar zbieżnośći:

	(−2x)n
∑
	n2−1

Mam pytanie jakie podstawienie proponujecie do tego przykładu, bo nie mam pomysłu

Godzio: Masz wyznaczyć obszar zbieżności więc jakie chcesz tu podstawienie stosować? ∑a_nxⁿ gdzie a_n = U{(−2)ⁿ}{n² − 1 Wyznacz promień i masz przedział, sprawdź krańce przedziałów i masz odpowiedź Pytaj jak czegoś nie wiesz.

Godzio:

	(−2)n
an =
	n2 − 1

Nie domknęło się.

Gray:

	2n
an=		.
	n2−1

	an+1
Oblicz granicę limn→∞		=r.
	an

	1		1
Wówczas Twój szereg jest zbieżny w przedziale (−		,		). Rozbieżny w przedziałach
	r		r

	1		1		1		1
(−∞,−		), (		,∞). W punktach x=−		oraz x=		trzeba zbadać zbieżność
	r		r		r		r

osobno.

asd: Ok, a jeśli by było wyznacz zbiór zbieżności, to rozwiązanie wyglądało by inaczej ?

Godzio: Czym się różni jedno od drugiego?

asd: No właśnie nie wiem, czy jest różnica.

asd: No ok, ale nie rozumiem, dlaczego nie ma podstawienia ? Na zajęciach był taki przykład

	(−x)n
∑		i tutaj stosowaliśmy podstawienie, więc nie mam pojęcia dlaczego tak
	4n−1*√n

asd: up

asd: up

Godzio: Jakie podstawienie? (różnicy nie ma)

asd: no podstawiliśmy na ćwiczeniach t=−x, więc nie rozumiem po co wprowadzają podstawienia, skoro nie trzeba ich stosować

Godzio: Moim zdaniem to tylko utrudnia, a w niczym nie pomaga, jak miałeś zdefiniowany promień zbieżności?

asd: Szczerze na wykładzie bardzo krótko... na ćwiczeniach 2,3 zadania, słabo zrozumiałem temat i teraz uczę się z etrapeza i tam też jest podstawienie.

asd: No dobra, jeśli nie trzeba podstawiać i jest to poprawne, to myślę, że wykładowca nie będzie miał sprzeciwu

Godzio: Ale odpowiedz na moje pytanie jeszcze

asd: No, na wykładzie nie pamiętam za bardzo, bo wtedy nie pisałem wszystkiego(dostajemy wersję elektroniczną wykładu) i tutaj niestety nie ma o tym wzmianki. Na ćwiczeniach liczyliśmy

	1
granicę lim n√an=5 r=		i potem liczyliśmy dla x=r i x=−r
	5

asd: To tak skrótowo podałem bez przykładu

Gray: Nie ma różnicy w tym czy wyznaczasz promień zbieżności szeregu ∑a_nxⁿ, czy ∑(−1)ⁿa_nxⁿ. Wynika to stąd, że przedział zbieżności ma postać |x|<R, czyli jeżeli należy do niego x to należy też −x i odwrotnie... Wyznaczając promień zbieżności należy liczyć granicę ciągu

	an+1
|		| lub n√|an|.
	an

W Twoim przykładzie ⁿ√2ⁿ/(n²−1) → 2, zatem szereg jest zbieżny w (−1/2, 1/2) i rozbieżny w (−∞,−1/2)∪(1/2,∞). Dla x=−1/2 mamy:

	1		1
∑		− szereg zbieżny (kryterium porównawcze do ∑
	n2−1		n2

Dla x=1/2 też zbieżny (jak wyżej, lub kryterium Leibnitza). Podsumowując: szereg zbieżny w [−1/2, 1/2], rozbieżny poza nim.

asd: dzięki

asd: jeszcze takie pytanie jeśli w zadaniu było, że ten szereg podany przeze mnie był dla n=2, to zmienia jakoś postać rozwiązania ?

Godzio: Nic nie zmienia

asd: Ok, dzięki

Gray: Co to znaczy "był podany dla n=2"? Może suma była od n=2. I musiała być od 2 (lub czegoś większego) po dla n=1 mianownik się zeruje.