zmienna losowa Ewa: Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości f(x)=0,00027698913(x³+3x²+3x+3) dla x(3;10) oraz o dla pozostałych x Znaleźć gęstość zmiennej losowej Y=³√X Nie wiem od czego zacząć

Ewa: czy normalnie robi się fy= √0,00027698913(x³+3x²+3x+3) dla x⊂(3;10) i 0 dla pozostałych czy zmienia się zakres?

Gray: Przy dość rozsądnych założeniach, gęstość jest pochodną dystrybuanty. Dystrybuanta X, to F_X(x)=P(X≤x), zatem F'_X(x) = f(x). Dla Y=³√X mamy więc: F_Y(x) = P(Y≤x) = P(³√X≤x) = P(X≤x³) = F_X(x³). Stąd gęstość Y, oznaczę ją g, to g(x)=F'_Y(x) = (F_X(x³))' = F'_X(x³)3x² = 3x²f(x³)

Ewa: a f(x³)=? to będzie f(x³)=0,00027698913(x⁶+3x⁵+3x⁴+3x³) ale dla tych samych x?

Ewa: istotne to dla mnie bo muszę jeszcze zbadać nierówność jensena (EY)³>EX

Gray: Oczywiście tylko dla tych x, dla których x³∊(3,10).

Ewa: ale E(Y)=∫x*g(x) czy E(Y)=∫x³*g(x)

Ewa: czyli dla x∊(³√3,³√10).

Gray: E(Y) = ∫xg(x)dx

Ewa: przepraszam za tak głupie pytania

Ewa: czyli dla x∊(³√3,³√10).

Ewa: tak?

Gray: Nie ma za co Tak.

Ewa: Dziękuję

Gray: Jeszcze jedno; teraz dopiero zauważyłem jak "dziwacznie" obliczyłaś f(x³). Ma być tak: f(x³) = "stała"(x⁹ + 3x⁶ + 3x³ +3). I to jeszcze mnożysz przez 3x², aby mieć gęstość Y.

Ewa: E(Y)=0,00027698913[3/13 x¹³+9/10x¹+9/7x⁷+9/4x⁴](od ³√3 do ³√10) i wyszło 1,979864953 zaś E(x)=0,00027698913[1/5 x⁵+3/4x⁴+x³+1,5x²](od 3 do 10) i wyszło 7,894231753 a więc nierówność jensena EY³>EX nie została zachowana?

Ewa: znalazam błąd

Ewa: nie, nie znalazłam

Gray: Dobrze te całki obliczyłaś? A oblicz całkę z f po przedziale (3,10). Co Ci wyjdzie?

Ewa: całka z f po przedziale z 3 do 10 wychodzi 1, więc jest to funkcja gęstości

Gray: Nierówność Jensena: f(EX)≤E(f(X)). U Ciebie (EY)³≤EX, więc OK.

Ewa: aha czy babka nam źle napisała,że EY³>EX

Ewa: miało być "czyli" jeszcze raz Dziękuję!