Indukcja ;) Józek: 3. Korzystając z indukcji matematycznej uzasadnić nierówności: a) 2ⁿ > n² dla n≥5 b) 1/1² +1/2²+...+1/n² ≤ 2− 1/n dla n∊N c) n!> 2ⁿ dla n≥4 d) n!> (n/2)ⁿ dla n≥6 e)(1+x)ⁿ≥1 +nx dla x≥−1 oraz n∊N (nierówność Bernoulliego)

Józek: pomoże ktoś ?

Józek: pomocy !

Janek191: a) 2ⁿ > n² dla n ≥ 5 I. n = 5 2⁵ = 32 > 5² = 25 II. Zakładam prawdziwość nierówności dla n = k > 5 2^k > k² Mam pokazać, ze z prawdziwości 2^k > k² wynika prawdziwość 2 ^{k + 1}> ( k + 1)² 2^{k + 1} = 2* 2^k > 2* k² > ( k + 1)² bo 2 k² − (k + 1)² = 2 k² − ( k² + 2 k + 1) = k² − 2 k − 1 = (k − 1)² − 2 > 0 dla k ≥ 3 Mamy 2 ^{k + 1} > ( k + 1)² więc na mocy indukcji matematycznej zachodzi 2ⁿ > n² dla n ≥ 5. ckd.

Janek191:

1		1		1		1
	+		+ ... +		≤ 2 −		dla n ∊ ℕ
12		22		n2		n

I. n = 1

1		1
	= 1 ≤ 2 −		= 1
12		1

II.Zakładamy prawdziwość wzoru dla n = k. Mamy pokazać jego prawdziwość dla n = k + 1 tzn. że

1		1		1		1
	+ ... +		+		≤ 2 −
12		k2		( k + 1)2		k + 1

Z założenia mamy

	1		1		1		1		1		1
(		+		+ ... +		) +		≤ 2 −		+		=
	12		22		k2		(k + 1)2		k		(k+1)2

	1		1		(k +1)2 − k
= 2 − (		−		) = 2 −		=
	k		( k + 1)2		k*(k +1)2

	k2 + k + 1
= 2−
	k*(k +1)2

	k2 + k + 1		1
Trzeba teraz pokazać,że 2 −		≤ 2 −
	k*( k +1)2		k + 1

	k2 + k+1		1		k2 + k + 1		1
−		≤ −		⇔		≥		⇔
	k*(k + 1)		k + 1		k*( k + 1)2		k + 1

⇔ k² + k + 1 ≥ k*( k + 1) ⇔ k² + k + 1 ≥ k² + k ⇔ 1 ≥ 0 Z prawdziwości ostatniej nierówności i zasady indukcji matematycznej wynika prawdziwość nierówności

1		1		1		1
	+		+ ... +		≤ 2 −		dla n ∊ ℕ
12		22		n2		n + 1

ckd.