indukcja Józek: Za pomocą indukcji matematycznej uzasadnij ze dla każdej liczby naturalnej n zachodzą tożsamości : a) 1+ 3+ ...(2n−1)= n² b) 1*2 + 2*3 + ... n(n+1)= n(n+1)(n+2)/3 c) cosx* cos2x* cos4x* ...cos2ⁿx= sin2ⁿ⁺¹x / 2ⁿ⁺¹sinx (x=kπ)

Józek: prosze o pomoc

Józek: prosze o pomoc

Saizou : a jakiś wkład własny ?

Józek: nie wiem od czego tu zacząć

Saizou : https://matematykaszkolna.pl/strona/1116.html zobacz sobie przykłady jak to się robi

Józek: a czy zawsze n=1 i k>=1 ?

Saizou : nie... sprawdzamy zawsze dla najmniejszej liczby z treści zadania, jeśli tak jak u Ciebie mamy Za pomocą indukcji matematycznej uzasadnij ze dla każdej liczby naturalnej n zachodzą tożsamości będziemy sprawdzać dla n=1 ale są różne zadania gdzie np. masz napisane dla każdego n naturalnego n≥5, czyli sprawdzamy dla n=5 itd. następnie wykonujemy założenie indukcyjne, czyli zakładamy prawdziwość zdania (różności nierówności itp. ) dla pewnego k (dowolność wyboru literki) i pokazujemy prawdziwość wzoru dla k+1 (jest to tak zwana teza indukcyjna )

Józek: ok a powiedzmy ze zrobiłem bo to przeanalizowałem tutaj https://matematykaszkolna.pl/strona/1358.html biorę sie za b

Józek: a czyli gdyby było n≥5 to po prostu by było wszystko tak samo tylko ze zamiast k+1 było by k+5 ?

Saizou : nie... to pozostaje bez zmian, bo to taki efekt domina, tylko sprawdzenie jest dla n=5

Józek: mam pewien problem robie to tak b) 1*2+2*3+...+n(n+1)= n(n+1)(n+2)/3 dla n=1 L=1(1+1)=2 P=(1+1)(1+2)/3 = 2 zakładam że równanie jest prawdziwe dla pewnej liczby k≥1 1*2+2*3+...k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3 udowadniam prawdziwość rówania dla k+1 korzystając z założenia 1*2+2*3+...+k(k+1) + (k+1)(k+2)= (k+1)(k+2)(k+3)/3 L=1*2+2*3+...+k(k+1)+ (k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2) no i tu jest problem bo to raczej nie bedzie sie równało P

Saizou : 1*2+2*3+....+k(k+1)+(k+1)(k+2)=.... niebieski fragment możesz zastąpić założeniem

Saizou : sorry nie doczytałem to zrobiłeś czyli masz

k(k+1)(k+2)
	+(k+1)(k+2), wyłącz przed nawias ....
3

Józek: czyli to bedzie chyba tak (k+1)(k+2)(k/3 +1) ale co mi to daje to i tak sie nie równa P

Saizou : wspólny mianownik w ostatnim nawiasie

Józek: a racja ale ze mnie głąb dzięki !

Józek: no to spróbuje C

Saizou :

	1
albo z ostatniego wyciągnąć		przed nawias
	3

k		1
	+1=		(k+3)
3		3

Józek: juz na samym początku mam kłopoty prosze o podpowiedź n=1 L=cosx*cos2x*cos4x...*cos2x ( nie wiem co tutaj dalej zrobić ? zostawiamy tak ?) P=sin2²x/2²sinx ( i tutaj tez nie wiem co dalej zrobić )

Józek: pomocy !

Józek: pomoże ktoś

Józek:

PW: Przepis po lewej stronie mówi: − Mnóż przez siebie kosinusy − począwszy od cosx, a skończywszy na cos2ⁿx. Dla n=1 przepis ten mówi: pomnóż przez siebie cosx i cos2x. Prawa strona dla n=1 jest równa

	sin22x		sin4x
		=		.
	22sinx		4sinx

Sprawdzenie prawdziwości tezy dla n=1 polega więc na sprawdzeniu, czy

	sin4x
cosxcos2x =		.
	4sinx

Józek: no dobra ok teraz juz to rozumiem ale nie umiem tego sprawdzić

Józek: mogłby ktos pomóc bo cos mi nie idzie dla k ≥ 1 cosx*cos2x*cos4*...*cos2^kx= sin2^k+1/2^k+1sinx udowadniam prawdziwość równania dla k+1 cosx*cos2x*cos4x*...*cos2^kx+cos2^k+1x=sin2^k+2x/2^k+2sinx L=cosx*cos2x*cos4x*...*cos2^kx+cos2^k+1x= sin2^2k+1x/ 2^k+1sinx + cos2^k+1x no a to niestety nie bedzie sie równać P prosze o podpowiedź co zle zrobiłem

PW: A dlaczego po lewej stronie z mnożenia zrobiłeś dodawanie?

Józek: sorki mój błąd czyli to bedzie tak ? L=cosx*cos2x*cos4x*...*cos2^kx*cos2^k+1x= sin2^k+1x/2^k+1sinx * cos2^k+1x ale to dalej sie nie równa P

PW: Nie przekonasz się, dopóki nie skorzystasz z założenia indukcyjnego (trzeba je zastosować do iloczynu kosinusów − od pierwszego do przedostatniego czynnika).

Józek: no to przecież to zastosowałem cosx*cos2x*cos4x...cos2^k=sin2^k+1x/2^k+1sin czy nie o to Ci chodzi ?

Józek: help !

Józek: plisss pomóżcie

Józek: help !

PW: Dobrze (chyba nie widziałem Twojego wpisu redagując swój), ale skoro nie umiałeś przeprowadzić dowodu już dla n=1 (Twój wpis z 20:24), to i z tym sobie nie poradzisz. Trygonometria się kłania. Zacznij od równości z 20:17, tu już nie będę pomagał.