Funkcje odwrotne Alberyk: Funkcje odwrotne O funkcjach f i g wiadomo, że f(g(x)) = x. Pod jakim warunkiem wynika z tego, że g(f(x)) = x ? (tj. wzajemna odwrotność) ( założenie o adekwatności dziedzin i przeciwdziedzin pomijamy jako oczywiste...) Czy potrzeba i wystarcza aby obie byłÿ ściśle monotoniczne? Jak to udowodnić ? Prosty przykład dla f = x² i g = √x pokazuje, że faktycznie f(g(x)) = x , ale g(f(x)) = |x|, przeto dostajemy co innego, właśnie z powodu niemonotoniczności f na całej dziedzinie...

J : ostatni przykład , który podałeś jest nieścisły.. funkcja f(x) = x² posiada funkcję odwrotną, ale tylko w przdziałach,gdzie jest różnowartościowa, a więc f(x) = x² i f⁻¹(x) = √x dla x ∊ (0,+∞0 oraz f⁻¹ = √−x,dla x ∊ (−∞,0)

Dziadek Mróz: f(x) = x³ g(x) = ³√x f o g = f(g(x)) = f(³√x) = (³√x)³ = x g o f = g(f(x)) = g(x³) = ³√(x³) = x f(x) = x^{2n − 1} g(x) = ^{2n − 1}√x

Gray: Powinno wystarczyć gdybyśmy założyli, że funkcja f posiada funkcję odwrotną f⁻¹ (o funkcji g nie zakładamy nic ponad to, co w treści, tj. f(g(x))=x). Wówczas: f(g(x))=x=f(f⁻¹(x)) − druga równość z definicji f⁻¹. Stąd wynika, że g(x)=f⁻¹(x) − to wynika z faktu, że f jest różnowartościowa (a musi taka być, skoro posiada f⁻¹). Ale skoro g=f⁻¹ to g(f(x))=x. Koniec

Gray: Drobne uzupełnienie (doświadczenie podpowiada mi, że z dużym prawdopodobieństwem osoba, która zadawała Ci takie zadanie nie jest tego świadoma ) Założenia nt. dziedzin olałeś jako oczywiste. Ale jest jedno ale... Gdyby te funkcje były określona na tym samym zbiorze dwuelementowym A={a,b}, tj. f:A→A, g:A→A, to żadne dodatkowe założenie nie jest potrzebne, bo wówczas zawsze f(g(x))=g(f(x)), tj. w takim przypadku składanie jest działaniem przemiennym.