Tw. Taylora logiczny: Witam, mam zadanie: obliczyć √e z dokładnością do 0,01. Ze wzoru Taylora. Dzięki z góry

logiczny: Rozumiem, że żeby dokłaność była 0,01 to musi być spełniony warunek:

	1
|Rn|≤		tylko nie wiem jak zapisać resztę.
	100

Gray:

	ec
Rn=		, gdzie c∊(0,1/2).
	2n(n!)

	ec		3
To oznacza, że Rn=		≤
	2n(n!)		2n(n!)

Znajdź najmniejsze n dla którego

3		1
	≤		.
2n(n!)		100

logiczny: dzięki wielkie, dalej sobie na pewno poradzę, ale powiedz skąd się wziął wzór tej reszty i przedział do jakiego należy c. Wcześniej mi się wydawało, że reszta będzie mieć postać

	ec*xn
Rn
	n!

logiczny: nie dopisałem "=" po R_n

Gray: Dobrze, ale ponieważ obliczas e^1/2, więc dajesz x=1/2.

logiczny:

	1
No tak, jasne, dzięki, a dlaczego c∊(0,		)?
	2

logiczny: Dobra już wiem, tak jest po prostu w definicji, ale jeszcze pytanie czy np. zamiast

	1
zaokrąglenia do 3 mogę zaokrąglić do 2, bo dla max. c=		−> ex=√e, który można
	2

zaokrąglić do 2?

logiczny:

logiczny:

PW: To by było trochę dziwne, by obliczając przybliżenie e^1/2 posługiwać się jakimś oszacowaniem tej liczby. Nie ma to zresztą większego znaczenia − w oszacowaniu, dla jakich n

	1
Rn <
	100

dużo ważniejszą rolę niż ograniczony licznik odgrywa mianownik, który zależy od n.

Gray: Gdybym zamiast e^1/2 napisał 2, dostałbym nierówność w drugą stronę. To nic nie da. Licząc przybliżenie e^1/2 wiem coś o e; wiem to co dość łatwo można pokazać, tj. że e∊(2,3). Gdybym nie miał pojęcia ile mniej więcej wynosi e, nie mógłbym tego zadania tak rozwiązać. Ale wiem, że e∊(2,3) a pytam o dużo większą dokładność. W ten sam sposób można obliczyć e lub Twoje √e z dowolnie dużą dokładnością. Wystarczy dobrać odpowiednio duże n.

	3		1
W Twoim przypadku n=4 jest wystarczająco dobre (		<		), czyli
	244!		100

	1		1		1
√e≈1+		+		+		i dokładność ta jest odrobinę większa niż 10−2
	2		222		233!

logiczny: Wielkie dzięki, wydaje mi się to już jasne, jeszcze tylko się dopytam, gdyby w zadaniu trzeba było oszacować tym samym sposobem np. e³? To wtedy co powinienem podstawić pod e^x? 3³?

Gray: Tak.