granice xd Hajtowy: Granice − studia, 2 zadania Saizou? lim_n→∞ ³√n³−n²−1−√n²+1 lim_n→∞ ³√8n³−n²+1−2n

Saizou : to do dzieła skorzystaj z a³−b³

jakubs: Sprzężenie, tylko wzór a³−b³

Saizou :

	a3−b3
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)⇒a−b=		no i teraz xd
	a2+ab+b2

Hajtowy: No wiem, że ten wzorek

Saizou : no to rozpisz i zobacz co ci wyjdzie

Hajtowy: Tylko mam mały problem z tym zadaniem... bo kurczę ostatnio jak robiłeś ze mną zadanie właśnie tego typu z tym wzorem to zrobiłeś to jakoś na skróty i nie bardzo wiem własnie jak zacząć...

Saizou : co jest naszym a=... i b=....

Hajtowy: a=³√n³−n²−1 b=√n²+1

Saizou : i wrzuć to do wzorku a−b=...

Hajtowy:

	3√3(n3−n2−1)3 − (n+1)3/2
a−b=
	3(n3−n2−1)2 + 3√n3−n2−1*√n2+1 + n2+1

Saizou : zapisz to porządnie

Hajtowy: a³ = 3√3(n³−n²−1)³ a² = 3(n³−n²−1)² b³=(n+1)^3/2 b²=n²+1 ab = ³√n³−n²−1 * √n²+1

Saizou : a z jakiej paki wzięło ci się 3√3 w a³

Saizou : rozpisz to porządnie i wyciągnij z mianownika n²

Hajtowy:

	n3
a−b=
	(n3−n2−1)2/3 + 3√n3−n2−1*√n2+1 + (n+1)3/2

Hajtowy: na końcu oczywiscie n²+1 zamiast (n+1)^3/2

Saizou : mianownik: [³√n³−n²−1]³−[√n²+1]³=n³−n²−1−[n√n+1/n²]=n³−n²−1−n²[√1+1/n²]³

Saizou : oczywiście miało być licznik

Hajtowy: a mianownik ok jest?

Saizou : tak i teraz z mianownika wywal n² przed nawias

Hajtowy:

n3−n2−1−n2[√1+1/n2]3
n2(n−1−1/n2)2/3 + n2(3√n−1−1/n2 + n2(1+1/n2)

Takie cudeńko?

Saizou : zapisz to mianownik, bo już ślepnę

Hajtowy: n²(n−1−(1/n²))^2/3 + n²(³√n−1−(1/n²))+n²(1+1/n²)

Saizou : coś jest nie halo mianownik (³√n³−n²−1)²+√n²+1*³√n³−n²−1+(√n²+1)²= (³√n³(1−1/n²−1/n³))²+√n²(1+1/n²)*³√n³(1−1/n²−1/n³)+(√n²(1+1/n²)²= n²(³√1−1/n²−1/n³)²+n²*√1+1/n²*³√1−1/n²−1/n³+n²(√1+1/n²)²= n²(³√1−1/n²−1/n³)²+√1+1/n²*³√1−1/n²−1/n³+)√1+1/n²)²)

Hajtowy: MAGIC

Saizou : po prostu z pierwszego pierwiastka wyciągnąłem n , z iloczyny (z każdego pierwiastka ) po n i z ostatniego n

Hajtowy:

	1
I z tego wszystkiego powstaje liczba −
	3

Saizou : być może... nie liczyłem... nie chce mi się... zresztą zbytnio czasu nie mam, przepraszam

Saizou : ale chyba coś nie wyjdzie bo w liczniku jest n³ a w mianowniku n²

Mila: Nie chce mi się wszystkiego czytać, co trzeba obliczyć?

Saizou : btw. skąd masz ten przykład?

Saizou : pierwszy post Hajtowego

Hajtowy: Z książki cholernej Matematyka dla kierunkow ekonomicznych, przyklady i zadania wraz z repetytorium ze szkoly sredniej, Gurgul, Suder, Krakow 2009

Hajtowy: Mila chcesz pomóc z tymi 2 przykładami? Są jakieś nieogarnięte jak dla mnie xd

Saizou : 2 jest prostsza

Hajtowy: Obie są koszmarne

Mila: 2) lim_n→∞ (³√8n³−n²+1−³√8n³)*

3√(8n3−n2+1)2+3√(8n3−n2+1)*8n3+4n2
(3√(8n3−n2+1)2+3√8n3−n2+1)*8n3+4n2

	8n3−n2+1−8n3
=		=
	4n2*3√(1−(1/(8n)+(1/8n3))2+4n2*3√(1−(1/(8n)+(1/8n3))2+4n2

=lim _n→∞

1   n2(−1+ )   n2
	=
4n3*(3√(1−(1/(8n)+(1/8n3))2+3√(1−(1/(8n)+(1/8n3))2+1)

	−1		−1
=		=
	4*3		12

Mila: Pierwszą jutro, może znajdę sposób na uproszczony zapis.

Hajtowy: Dziękuję

Elipsa : Mila pomozesz ?

Hajtowy: Mila pomożesz?

Hajtowy: @f5

Mila: Nie rozwiązałeś pierwszego?

Hajtowy: Rozwiązałem... ale nie ma jakiegoś "łatwiejszego" sposobu − krótszego?

Saizou : Mila sam jestem ciekaw pierwszego bo jakoś to u mnie kuleje, skoro tam mamy pierwiastki 3 i 2 stopnia to chyba najlepiej zastosować wzór a⁶−b⁶

Mila: Tak, Saizou, ale gdzies mam pomyłkę i nie piszę.

Hajtowy:

Saizou : to mogę ja rozpisać, bo już wiem chyba gdzie miałem błąd xd

Mila: To też długi sposób.

Saizou : a⁶−b⁶=(a³−b³)(a³+b³)=(a−b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²−ab+b²) stąd

	a6−b6
a−b=
	(a+b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)

lim_n→∞³√n³−n²−1−√n²+1=? rozpiszmy ze wzoru (podzielę to sobie na licznik i mianownik żeby sobie ułatwić zapis) licznik: (³√n³−n²−1)⁶−(√n²+1)⁶= (n³−n²−1)²−(n²+1)³=...=−2n⁵−2n⁴−2n³−n²=n⁵(−2−2/n−2n²−1/n³) mianownik: (³√n³−n²−1+√n²+1)•((³√n³−n²−1)²−³√n³−n²−1√n²+1+(√n²+1)²)• ((³√n³−n²−1)²+³√n³−n²−1√n²+1+(√n²+1)²) dla ułatwienia będę zajmować się po koli każdym za nawiasów: (³√n³−n²−1+√n²+1)=³√n³(1−1/n−1/n³)+√n²(1+1/n²)=n[³√1−1/n−1/n³+√1+1/n²] ((³√n³−n²−1)²−³√n³−n²−1√n²+1+(√n²+1)²)= (³√n³(1−1/n−1/n³))²−³√n³(1−1/n−1/n³)√n²(1+1/n²)+(√n²(1+1/n²))²= n²[(³√1−1/n−1/n³)²−³√1−1/n−1/n³√1+1/n²+(√1+1/n²)²] ((³√n³−n²−1)²+³√n³−n²−1√n²+1+(√n²+1)²)= (³√n³(1−1/n−1/n³))²+³√n³(1−1/n−1/n³)√n²(1+1/n²)+(√n²(1+1/n²))²= n²[(³√1−1/n−1/n³)²+³√1−1/n−1/n³√1+1/n²+(√1+1/n²)²] gdy to wymnożymy otrzymamy: n[³√1−1/n−1/n³+√1+1/n²]•n²[(³√1−1/n−1/n³)²−³√1−1/n−1/n³√1+1/n ²+(√1+1/n²)²]•n²[(³√1−1/n−1/n³)²+³√1−1/n−1/n³√1+1/n²+(√1+1/n²)²]= n⁵•[³√1−1/n−1/n³+√1+1/n²]•[(³√1−1/n−1/n³)²−³√1−1/n−1/n³√1+1/n ²+(√1+1/n²)²]•[(³√1−1/n−1/n³)²+³√1−1/n−1/n³√1+1/n²+(√1+1/n²)²] wówczas lim_n→∞³√n³−n²−1−√n²+1=... (n⁵ się skrócą, wówczas ) licznik (−2−2/n−2n²−1/n³)→−2 , gdy n→∞ mianownik [³√1−1/n−1/n³+√1+1/n²]•[(³√1−1/n−1/n³)²−³√1−1/n−1/n³√1+1/n²+ (√1+1/n²)²]•[(³√1−1/n−1/n³)²+³√1−1/n−1/n³√1+1/n²+(√1+1/n²)²]→2•1•3=6 gdy n→∞

	−2		1
limn→∞3√n3−n2−1−√n2+1=		=−
	6		3

Mila: za wytrwałość>

Saizou : mam tylko nadzieję że nigdzie znaków nie pomyliłem

Mila: Myślę, że nie warto więcej zajmować się tym koszmarkiem.

Saizou : na kartce to szybciej idzie

Mila: 1) pomnożyc i podzielić przez sumę (³√n³−n²−1)+√n²+1 otrzymamy:

3√(n3−n−1)2−(n2+1)
(3√n3−n2−1+√n2+1)

2) Teraz skorzystać z wzoru (a³−b³) otrzymamy : licznik: (n³−n−1)²−(n²+1)³ Mianownik: {(³√n³−n²−1+√n²+1) *(³√n³−n²−1)⁴+(n²+1)*³√(n³−n²−1)²+(n²+1)²)} Licznik:

	1		1		1
−2n5−2n42n3−n2=−2n5(1+		+		+		)
	n		n2		2n3

Mianownik: n*(³√1−(1/n)−(1/n³)+√1+(1/n)) *n⁴*(³√1−(1/n²−(1/n³))⁴+n²*(1+(1/n²))*n²*³√(1−(1/n)−1/(n³))²+n⁴*(1+(1/n²))²)}

	−2		−1
Limn→∞ (an)=		=
	2*3		3

Mila: ?