Granica ciągu Klaudia: Oblicz granicę ciągu a_n= [1²+2²+...n²]/[n³]

zombi: Wzór na sumę kwadratów.

Klaudia: a jaki jest?

Saizou : możesz go sobie wyprowadzić

Klaudia: jakiś pomysł?

Gray:

	n(n+1)(2n+1)
12+22+...+n2 =		− dowód np. indukcyjny.
	6

Saizou : rozważ sumę 1³+2³+3³+...(n+1)³= (0+1)³+(1+1)³+(2+1)³+...+(n+1)³=...

Saizou : Gary do dowodu indukcyjnego musisz znać prawą stronę sumy, jak jej nie znasz to kiepsko xd

Klaudia: no właśnie, myślę że na pewno jest prostszy sposób na rozwiązanie tego

Saizou : no nie... musisz to zsumować xd

Gray: Doskonale zdaję sobie z tego sprawę... Ale jak już wie co ma udowodnić to może to zrobić indukcyjnie Swoją drogą, jak wpaść na to, że aby wyprowadzić wzór na sumę kwadratów, należy rozważać sumę sześcianów?

Saizou : kwestia wprawy

Gray: Jasne

Saizou : oznaczmy naszą szukaną summę przez S=1²+2²+...+n³ 1³+2²+...(n+1)³= (0+1)³+(1+1)³+(2+1)³...+(n+1)³= (0³+3*0²*1²+1³)+(1³+3*1³*1+3*1*1²+1³)+(2³+3*2²*1+3*2*1²+1²)+... +(n³+3n²*1+3n*1+1²)= =(1³+2³+...+n³)+3(1²+2²+...+n³)+3(1+2+...+n)+1*(n+1) stąd

	1+n
(n+1)3=3S+3*		n−(n+1)
	2

	n+1
3S=(n+1)3−3n		−(n+1)
	2

	3n
3S=(n+1)[(n+1)2−		−1]
	2

	3
3S=(n+1)(n2+2n+1−		n−1)
	2

	1
3S=(n+1)(n2+		n)
	2

	1
3S=(n+1)n(n+		)
	2

	n(n+1)(2n+1)
3S=
	2

	1
S=		n(n+1)(2n+1)
	6