Suma n iloczynów liczb naturalnych n(n+1) Michał: Witam! Mama takie zadanie do zrobienia nie wiem jak to policzyc, pomożcie Oblicz sume n iloczynów liczb naturalnych suma=1*2 + 2*3+ ..... + n(n+1)

Michał: Wiem że bedzie to n(n+1)(n+2)/3 ale nie mam pojecia skad to?

Bogdan: Spróbuj tak to zobaczyć: 1*2 + 2*3 + 3*4 + 4*5 + 5*6 + ... + n*(n + 1) = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + ... + n*(n + 1) =

	n(n + 1)
= 2(1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... +		) = mamy tu liczby trójkątne
	2

= 2(1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) + (1+2+3+4+5) + ... + (1+2+ ... +n))

Michał: hmm dalej nie rozumiem

Bogdan: Obliczyć sumę iloczynów S = 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + (n−1)*n + n*(n+1). Wracam do tego tematu, bo szkoda go zostawić bez pełnej odpowiedzi, może komuś się przyda. Zauważmy: 1*2 = 2 = 1² + 1 2*3 = 6 = 2² + 2 3*4 = 12 = 3² + 3 ..... n*(n+1) = n² + n Po obustronnym zsumowaniu otrzymujemy: 1*2 + 2*3 + 3*4 + 4*5 + ... + n*(n+1) = 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² + 1+2+3+4 + ... +n Oznaczmy S_KW = 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n²

	n(n+1)
Mamy więc zależność: (*) S = SKW +
	2

Zajmiemy się wyznaczeniem S_KW. Korzystamy z zależności: (n + 1)³ − n³ = 3n² + 3n + 1. dla 1: 2³ − 1³ = 3*1² + 3*1 + 1 dla 2: 3³ − 2³ = 3*2² + 3*2 + 1 dla 3: 4³ − 3³ = 3*3² + 3*3 + 1 ........................................................ dla n: (n+1)³ − n³ = 3*n² + 3*n + 1 Sumujemy lewe strony: 2³+3³+4³ + ... + n³+(n+1)³ −1³−2³−3³−4³− ... −n³ = (n+1)³ − 1

	n(n+1)
Sumujemy prawe strony: 3*SKW + 3(1+2+3+4+ ... +n) + n*1 = 3SKW + 3*		+ n
	2

	3n2 + 5n
Porównując obie ostatnie sumy otrzymujemy: (n+1)3 − 1 = 3SKW +
	2

	n(n + 1)(2n + 1)
Stąd SKW =		.
	6

	n(n + 1)(2n + 1)		n(n + 1)		n(n + 1)(n + 2)
Wracamy do (*): S =		+		=
	6		2		3

	n+2 3
Można S zapisać także w ten sposób: S = 2