Ciąg (an) spełnia warunek ∀n>100 |an − 100| < 10 Marusia: Ciąg (an) spełnia warunek ∀n>100 |an − 100| < 10 Stąd wynika,że a) ciąg jest zbieżny, b) ciąg jest rozbieżny c) każdy wyraz ciągu (an) jest dodatni d) od pewsnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie e) ciag an ma co najmniej jeden wyraz dodatni f) a666 <7777777 g) a1111 > 88 h) ∀n>1729 |an−100|<1 k) ciąg an jest ograniczony l) ∃n<444|an−80|<37 m)∀m ∃n>m an >0 n)∀m>1234 ∀n>5678 |an − am| <7 o)∃m,123 ∃n<456 |an − am| <3 p)∀m>1296 ∀n>7776 |an +am| <222 r) ∃n an < 92 s) ∃n an > 91 BARDZO PROSZĘ O WYTŁUMACZENIE MI JAK ROZWIĄZAĆ TO ZADANIE. NIESTETY NIC Z TEGO NIE ROZUMIEM. BĘDĘ BARDZO WDZIĘCZNY.

Gray: A wpis darasa czytałeś(−łaś)? A mój? I nic sobie z nich nie robisz... Ja nie widzę tu żadnego zadania do rozwiązania. W przerwie na myślenie nad tym, co jest nie tak z tym co napisałeś(−łaś), polecam uważnej lekturze to: http://www.polskaniezwykla.pl/web/statics/netykieta.aspx

Marusia: Ma być tak: czy stad wynika, ze..

Gray: Poprawne są: d) e) f) g) k) l) m) o) p) Pomyśl dlaczego. Dla tych których nie wypisałem podaj kontrprzykłady. Np. a) ciąg a_n = 100 + (−1)ⁿ spełnia Twój warunek, a nie jest zbieżny.

stefcii: marusia z rasija

Marusia: Gray możesz mi wytłumaczyć jak sprawdzić czy spełnia ten warunek czy sa poprawne?

stefcii: marusia z rosji

Gray: Podstaw za a_n do wzoru. Co Ci wyjdzie?

Marusia: Czyli chodzi o to aby np. a666 podstawić ∀_n>1000 |a_n − 100| < 10 wychodzi mi 90<a₆66<110 dobrze?

Gray: Ad a). Czy z warunku (*) ∀n>100 |a_n − 100| < 10 wynika, że ciąg a_n jest zbieżny? Nie. Np. dla ciągu a_n=100 + (−1)ⁿ mamy: |a_n−100| = |100 + (−1)ⁿ − 100| = |(−1)ⁿ| = 1 <10, zatem spełnia on warunek (*), a nie jest ciągiem zbieżnym. Ad. b) Podobnie, np. ciąg a_n=100 spełnia warunek (*), a nie jest ciągiem rozbieżnym, więc b) nie jest prawdą. Ad. c) Rozważmy ciąg: a₁=−1, a_n=100, dla n≥2. Ciąg ten spełnia warunek (*), a nie jest ciągiem o wyrazach dodatnich (bo a₁<0). Ad. d) − pierwszy warunek pozytywny. Skoro dla n>100 mamy |a_n − 100|<10 to ponieważ |a_n − 100|<10 ⇔ −10 < a_n−100<10 ⇔ 90<a_n<110, zatem dla n>100 wyrazy a_n są dodatnie. Dalej analogicznie. Dość przyjemne zadanie. Przyjemne ≠ trudne.

Marusia: Ok, dziękuje. A jak z przykładami gdzie podany jest inny wzor np. m) n) itp.?

Gray: Rozpisz słownie (bez użycia kwantyfikatorów i nierówności) o co chodzi w punkcie m).

Marusia: Dla każdego M istnieje n większe M takie ze a_n >0

Gray: No i co Ty na to? Przypominam, że wiemy już, że dla n>100 jest a_n>90?

Marusia: To znaczy, ze istnieje

Gray: Tak, dla dowolnego m wystarczy wybrać n>max{m, 100} i będzie dobrze.

Marusia: Dzięki Gray.a przykład P?

Gray: Jest tak: |a_n| − 100 ≤ |a_n−100|<10 stąd |a_n|< 110, czyli dla n,m>100 |a_n+a_m|≤|a_n| + |a_m| ≤ 220.