Granice Hajtowy: Granice na studiach

	1
lim = (1 +		)n =
	2n+1

n→∞ Ciężko to napisać... więc wstawiam fote: http://www.ufast.eu/pics/586920granice.jpg Dlaczego:

	1
1.		dąży do 0?
	2n+1

2. To co jest w nawiasie [ ] dąży i staje się "e" ? 3. Skąd w potędze "e" jest lim i reszta? Nie miałem tego w LO dlatego pierwsze spotkanie się z granicami jest lekko przerażające... mam sobie przerobić cały 4 rozdział z książki i za 2 tyg na kolosa! Wytłumaczy ktoś?

kyrtap: te n+1 jest w indeksie dolnym?

Hajtowy: Być może tam jest 2n+1 Tak było pisane na tablicy to tak się przepisało

razor: tam jest raczej 2n+1 Jest taki wzór na granicę z e

	1
lim (1+		)an = e
	an

lub lim (1+a_n)^1/a_n = e przy n → ∞

J :

	1		n
= lim [(1 +		)n+1]		.. nawias kwadratowy → e , ułamek → 1
	2n+1		n+1

Janek191: I przykład dobrze

Janek191: @ J : Tam jest

	1
1 +
	2 n + 1

Janek191: Tylko Hajtowy pisze tak niestarannie

Hajtowy: Skoro jest:

	1
1+		to wiem czemu dąży do 0
	2n+1

Teraz już dzięki razorowi poznałem wzór i wiem czemu to jest e No ale zostało ostatnie pytanie... Dlaczego teraz wszystko jest przeniesione do potęgi liczby e?

kyrtap:

	1
Jeżeli limn→∞ = (1+		)n to:
	2n+1

	1		1		n		1
limn→∞ = (1+		)n = ((1+		)2n+1)do potęgi		= e/div>		=
	2n+1		2n+1		2n+1		2

√e

	n		n		1
limn→∞		= limn→∞		=
	2n+1		1   n(2 + )   n		2

J : jesli jest 2n +1 , to granica jest: e^1/2

Hajtowy: A mam jeszcze jakiś taki wzór:

	1
limn→∞ (1+		)n = e
	n

razor: to jest to samo co ja podałem

Janek191: lim e^{n_{2 n + 1}} = e ^{lim n_{2 n +1}} = e^0,5 = √e n→ ∞

Hajtowy: No to dobrze No to czemu (na końcu 1 linijki na zdj) wszystko jest w potędze "e" ? Skąd to wgl się wzięło...

Hajtowy: Bo tam też "lim_n→∞ przeskoczyło Chyba ze ja źle przepisałem

bezendu: Jest ogólnie wzór Więc skoro masz

	1
lim (1+		)n to przekształcasz żeby dostać liczę e w tym nawiasie
	2n+1

n→0 Niebieskie kwadraciki muszą być takie same więc jeśli u Ciebie

	1
(1+		) to ten górny kwadracik musi być też 2n+1 żebyś mógł skorzystać z wzoru
	2n+1

Ale tam na początku w potędze jest n a nie 2n+1 więc żeby nie zmienić nic w zadania dopisujesz

n		n
	(działania na potęgach) bo jak 2n+1*		do dostaniesz n czyli wszystko się
2n+1		2n+1

zgadza i teraz korzystasz z podciągu

	n		1
lim		=
	2n+1		2

n→∞ więc masz tak; (już bez limesów piszę bo mi się nie chcę)

	1
[(1+		)2n+1]n/2n+1=[e]n/2n+1=e1/2=√e
	2n+1

bezendu: oczywiście n→∞

Hajtowy: Jbc to będe pisał (f5 temat jak bede miał problemy) Dzięki

Hajtowy: A co mam zrobić jeśli:

	1+2n−4n4
limn→∞
	10n3+n2−6

Podzielić licznik i mianownik przez najwyższą potęgę mianownika, czyli n³?

J : ..tak ...

Janek191: Tak

kyrtap: ja zawsze wyciągam najwyższe potęgi w liczniku i mianowniku

J : ... po to,żeby potem podzielić ...

kyrtap: owszem

Hajtowy: Wyszło...:

	1   2   + −4n n3   n2
limn→∞		=
	1   6   10+ −   n   n3

	−4n
= limn→∞		? No i stoję w miejscu
	10

kyrtap: czyli wynik −∞

Hajtowy: Czyli... Tak "po mojemu" to tak: −4n → −∞ 10 → 0, czyli znika mi stamtąd i zostaje −∞ ?

bezendu: Stopień licznika większy od mianownika od razu widać odpowiedź bez żadnych wyciągań przed nawias i zbędnych dzieleń.

Hajtowy: Aj aj... źle Za 'n' mam sobie podstawić ∞ i wtedy jest −4∞ = −∞ A 10 mnie nie interesuje?

kyrtap: of course

J :

	−∞
.. 10 nie "dąży" do 10 ... to jest po prostu 10 ...		= − ∞
	10

Hajtowy: Dzięki Biore się za nastepne

Hajtowy: Wyznacz granice ciągów o wyrazach: (piszę bez limesów) a) (n³+3n+2) = ∞ + ∞ +2 = ∞ b) (−2n⁴+n²−3n+4) = −∞+∞−∞+4 = −∞ ?

	1
c) (n100 − n50 + 1) = n50(n50−1+		) = −1 * ∞50 = ∞
	n50

	−n4+3n+1
d)		=
	100

	n+5
e)		=
	4n−1

Jak się zabrać za przykład 'd' i 'e'? O ile a,b,c jest dobrze

razor: a) dobrze b) źle − do poczytania http://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_nieoznaczony c) wyłącz n¹⁰⁰ przed nawias d) wyłącz n⁴ przed nawias e) podziel licznik i mianownik przez n lub wyciągnij n przed nawias i skróć (wychodzi na to samo)

logika: polecam przerobić e−trapez tam jest wytłumaczone.

Hajtowy:

	1		1
c) n100(1−		+		) = 1 * ∞ = ∞ ?
	n50		n100

Hajtowy:

	3   1   −1+ +   n3   n4
d)		= −∞ ?
	100   n4

Kaktus : ok

Hajtowy: A co z tym 'b' zrobic?

razor: wyciągnąć n⁴ przed nawias

Hajtowy:

	1		3		4
b) n4(−2+		−		+		) = −2*∞ = ∞
	n2		n3		n4

Kaktus : −∞

Hajtowy:

	n5−2n4−4n2+1
k) limn→∞		=
	n3+2n2−n+2

	4   1   n2−2n− +   n   n3		n2−2n
=		= =		=
	2   1   2   1+ − +   n   n2   n3		1

=∞−∞ nieoznaczony Tak?

razor: my swoje a ty swoje przed nawias wyciągasz największą potęgę, w tym przypadku n⁵ a nie n³

Hajtowy: Bo mam kuźwa zapisane, że dzieli się przez NAJWYŻSZĄ potęgę z MIANOWNIKA No to chciałem podzielić przez n³

Hajtowy: No więc jak to w końcu jest...?

Hajtowy: Zrobione, Kacper wytłumaczył

Hajtowy:

	√9n4+2n2+1
limn→∞
	n2

Jeśli dobrze słyszałem, na ćwiczeniach, jest to mnożenie przez "sprzężenie" ?

	√9n4−2n2−1
Czyli przez		?
	√9n4−2n2−1

ICSP: a jaki masz tutaj symbol nieoznaczony ?

Hajtowy: yyy no nie wiem wgl nie wiem co z tym zrobic

ICSP: a jakie w ogóle znasz symbole nieoznaczone ?

Hajtowy:

0		∞
	,		, ∞−∞, 0*∞, 00, 1∞, ∞0
0		∞

ICSP: jak widzisz, za dużo ich nie ma. Jeżeli nie masz jeszcze wprawy w granicach postaraj się najpierw ustalić symbol nieoznaczony a potem dobrać odpowiednią metodę liczenia.

	√9n4 + 2n2 + 1
limn
	n2

Jaki to symbol ?

Hajtowy:

	∞
No ja bym powiedział, że		...
	∞

ICSP:

	∞
Teraz podaj mi przykład innej granicy typu		którą potrafisz obliczyć.
	∞

Hajtowy: No w tym jest problem, że takiej granicy nie było na ćwiczeniach, tak więc nie potrafię tego policzyć Wspomniałem wyżej, iż spotykam się z granicami po raz pierwszy i jestem konkretnie zielony z tego tematu

ICSP:

	2n2 + 5		∞
limn		− to również jest granica typu		?
	n2 − 1		∞

Potrafisz ją obliczyć ?

Hajtowy: No z tej granicy mi wyszło 2... Więc jest to granica raczej ∞

ICSP: a jak wyliczyłeś tą 2?

Hajtowy: Podzieliłem przez n²

	2n2   5   + n2   n2		5   2+   n2
limn =		=		=2
	n2   1   − n2   n2		1   1−   n2

ICSP: Ostatnie pytanie : Dlaczego przez n², a nie przez n³

Hajtowy: No bo dzielimy przez najwyższą potęgę z mianownika Jeśli by w mianowniku było n³ to dzieliłbym przez n³

ICSP: Teraz policz swoją granicę (n² = √n⁴)

Hajtowy:

	3n2+3
limn =		=3
	n2

Sławekkk: PROSZĘ O POMOC! UWAGA! POTRZEBNA POMOC! Ciąg (an) spełnia warunek ∀n>100 |an − 100| < 10 Stąd wynika,że a) ciąg jest zbieżny, b) ciąg jest rozbieżny c) każdy wyraz ciągu (an) jest dodatni d) od pewsnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie e) ciag an ma co najmniej jeden wyraz dodatni f) a666 <7777777 g) a1111 > 88 h) ∀n>1729 |an−100|<1 k) ciąg an jest ograniczony l) ∃n<444|an−80|<37 m)∀m ∃n>m an >0 n)∀m>1234 ∀n>5678 |an − am| <7 o)∃m,123 ∃n<456 |an − am| <3 p)∀m>1296 ∀n>7776 |an +am| <222 r) ∃n an < 92 s) ∃n an > 91 BARDZO PROSZĘ O WYTŁUMACZENIE MI JAK ROZWIĄZAĆ TO ZADANIE. NIESTETY NIC Z TEGO NIE ROZUMIEM. BĘDĘ BARDZO WDZIĘCZNY.

Hajtowy: Spadaj stąd koleś, to mój temat Załóż sobie swój

Hajtowy: A co zrobić, jeśli mam:

	n2+3
limn =		?
	√n2−1

Bo teraz już nie zadziała to, że √n²=n , bo pod pierwiastkiem jest jeszcze −1

Hajtowy: Sprzężenie teraz...?

ICSP:

	∞
Sprzężenie stosujesz przy symbolu ∞ − ∞. Tutaj masz nadal		więc dzielisz przez najwyższą
	∞

potęgę mianownika : n

Hajtowy: Ale z drugiej strony... √n²−1 będzie maxymalnie 0 a tak to dąży do nieskończoności...

Hajtowy: Mhm... ale jak ja podzielę √n²−1{n} ? √n²{n} = 1

	1
A później −		mam napisać?
	n

ICSP: n² − 1 = n * √1 − 1/n²

Hajtowy: Czyli wychodzi ∞

Hajtowy:

	3√n3−1
limn =
	1−3n2

Dzielić przez n² , ale co z tym pierwiastkiem głupim znowu?

ICSP: n² = ³√n⁶ zatem ³√n³ − 1 = n² * ³√1/n³ − 1/n⁶

Hajtowy: hm... to z tego 0 wyjdzie czy mi się wydaje?

ICSP: Oczywiście, ze 0. Stopień licznika < stopnia mianownika : granica wynosi 0

Hajtowy: Te pierwiastki mnie dobijają czasami Szczególnie te 3−ego stopnia..

	√3n2−n
limn =
	3√1+n3

Eta:

Hajtowy:

	3n−√n
=		= ...
	3√1+n3

Nie no kurde

Hajtowy: Pani Eto proszę się nie śmiać Wiem, że student powinien już to umieć, no ale niektórzy mają swoje słabe strony np. chodzenie na skróty (zob w internecie)

√3
	= √
3

ICSP: a nie możesz od razu wyników podawać? √3n² − n = n * √3 − 1/n ³√n³ + 1 = n * √1 + 1/n³

Hajtowy: Mogę... jakbym umiał policzyć to mogę nawet wynikami sypać ale nwm jak to szybko i łatwo rozkminić

Eta:

√
	= √

Hajtowy: Ale z tego cuda wyszło mi ładnie √3

ICSP: Czyli tak na prawdę wyszedł ci iloraz współczynników przy najwyższych potęgach

Hajtowy: ICSP jak mi powiesz jak mogę to szybciej rozwiązywać, nie rozpisywać i zrozumiem tą metodę to owszem Bo też mi się tego rozpisywać nie chce lim_n=³√1−n−2n³= n * √¹_n−1−2n

Hajtowy: si?

ICSP: to jakiś magiczna sztuczka w które pierwiastek stopnia 3 zamienia się na pierwiastek stopnia 2? Już o tragicznym zapisie granicy z "niczego" nie wspominając.

Hajtowy: No taki przykład jest, nic na to nie poradzę To jak? Mogę liczyć na Twoją pomoc przy tych pierwiastkach? Prześladują mnie lim_n = ³√1−n−2n³

ICSP: nadal bez sensu

Hajtowy: No serio takie jest .... z książki przepisuję

ICSP: wstaw gdzieś zdjęcie Muszę ten przykład zobaczyć.

Hajtowy: No to następne wezmę

	2n−1		2		1		0
limn= (		)4 =		−		// √1+1n =		=0
	√n3+n2		n2		n3		1

Oki?

ICSP: Rozpisz to wszystko porzędnie, nie zwracałem wcześniej uwagi na twój zapis.

Hajtowy: http://www.ufast.eu/pics/423402granicee.png Przykład F

Hajtowy:

2		1
	−
n2		n3

−−−−−−− = 0

	1
√1+
	n

ICSP: Czyli wychodzi na to, ze nie potrafisz poprawnie tego zapisać Najwyższa potęga w mianowniku to n^3/2 a nie n³

Hajtowy: √n³+n² = √n²(n+1) = n * √n+1 i teraz dzielić przez n ?

Hajtowy: Są ludzie mądrzy i mądrzejsi ja dopiero się uczę tych granic więc nie jestem tak wprawiony jak Pan Może kiedyś też się nauczę i będę pomagał

ICSP: wyciągnij n^3/2

Saizou : a po co wyciągać, skoro masz pod pierwiastkiem dodawanie

Saizou : oj wybacz, myślałem tylko o lim_n→∞√n³+n²

Hajtowy: Ale nie ogarniam czemu n^3/2 i nawet nwm jak to wyciągnąć...

Hajtowy: [wszystko pod pierwiastkiem]

	n2+1		n+1		1
√		=		=
	4n2+3n		2n+√3n		2

Git?

Saizou : yhym

Saizou : jak masz

	a1xn+a2xn−1+...+an		a1
limn→∞		=
	b1xn+b2xn−1+...bn		b1

Hajtowy: Następny przykład znowu paskudny... Pierwiastek 4 stopnia ze wszystkiego

	2n2+5
limn→∞4√		= ...
	n2+n+1

Saizou może pomożesz?

Hajtowy:

	2n		2n		2
limn =		=		=		= 0
	√n3+n−n		√n(n2+1)−n		n−n

GIT?

ICSP: ten zapis mnie przeraża

Hajtowy: Który?

ICSP: Każdy

ICSP: chociaż ten z 19:32 jest

Hajtowy: To możesz w tym z 19:32 pomóc

ICSP: do czego dąży wyrażenie pod pierwiastkiem ?

Hajtowy: Do nieskończoności

ICSP: , myśl !

Hajtowy: No to nie wiem nie ogarniam tego tematu

ICSP:

	2n5 + 5
limn		=
	n2 + n + 1

Hajtowy: ... = 2n³?

ICSP:

2n2 + 5
	oczywiście
n2 + n + 1

Wziąłem to co występuje od twoim pierwiastkiem

Hajtowy: A to co pod pierwiastkiem to = 2

Hajtowy: Omg Odp. ⁴√2

ICSP:

Hajtowy:

	√2n2+5−√2n2−5
limn→∞
	n

Tu już sprzężenie trzeba, prawda? Bo tu jest ∞−∞

Saizou :

	√2n2+5−√2n2−5		√n2(2+5/n2)−√n2(2−5/n2)
limn→∞		=		=
	n		n

n(√2+5/n2−√2−5/n2)
	=√2+5/n2−√2−5/n2=√2−√2=0
n

Hajtowy: Saizou dzięki, ale zmieniając metody liczenia nwm czy tak ogarne Uczę się jedną i rozwiązuje jedną

	√2n2+5−√2n2−5		√2n2+5+√2n2−5
limn→∞		*		=
	n		√2n2+5+√2n2−5

No i teraz na górze jest (a² − b²)

	(√2n2+5)2−(√2n2−5)2		10
=		=
	n(√2n2+5+√2n2−5)		co tu dać?

Hajtowy:

	10
Wpisać mam		=0 ?
	∞

Saizou : zauważ że licznik dąży do ∞, bo n→∞ √2n²+5→∞ √2n²−5→∞ zatem ∞(∞+∞)→∞

Saizou :

	1
ja bym napisał że		=0 tak jak napisałeś xd
	∞

Hajtowy:

	√n3+n2−n		√n2(n+1)−n		n * √n+1
limn→∞		=		=		=
	2		2		2

Ale coś chyba tu sknociłem ... bo nwm co dalej

Saizou : Nie chce mi sie pisać że lim_n→∞ więc będę pisał lim, jeśli n będzie dązyć do czegoś innego to to zaznaczę

	√n3+n2−n		√n2(n+1)−n		n(√n+1−1)		∞(∞−1)
lim		=		=		=		=∞
	2		2		2		2

Hajtowy:

	1
Czyli w odp mam błąd, skoro pisze −		?
	6

Hajtowy:

	√n3 − √n3n
limn→∞
	√n+1−√n−1

Znów sprzężenie?

Saizou : http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28sqrt%28n%5E3%2Bn%5E2%29-n%29%2F2

Saizou : tam jest n³n

Hajtowy: n³+n

Saizou : możesz mnożyć przez sprzężenie xd

Hajtowy:

√n3 − √n3+n		√n3 + √n3+n
	*		=
√n+1−√n−1		√n3 + √n3+n

a2−b2		n
	=
√n+1−√n−1 * √n3 + √n3+n		√n+1−√n−1 * √n3 + √n3+n

Hajtowy: Takie cuda mi wychodzą

Saizou :

	1
1=		=
	1

√n3+√n3+n   √n3+√n3+n
√n+1+√n−1   √n+1+√n−1

Hajtowy: Coś Ty zrobił?

Saizou : jak obliczysz granice lim√n³−√n³+n

Hajtowy: no przez sprzężenie

Saizou : a lim √n+1−√n−1

Hajtowy: tez

Hajtowy: No ale napisałem moją wersję

Hajtowy: Czy te przykłady od N − T trzeba będzie rozwiązywać przez sprzężenie? http://www.ufast.eu/pics/423402granicee.png

Saizou : tak wyglądają na pierwszy rzut oka

Hajtowy: Pasuje mi zrobić wszystkie... Saizou masz chęci pomóc?

Saizou : najpierw licznik

	n3−n3−n		−n
a=√n3−√n3+n=		=		=
	√n3+√n3+n		√n2*n+√n2(n+1/n)

	−n		−1
=		=
	n(√n+√n+1/n)		√n+√n+1/n

mianownik

	n+1−n+1		2
b=√n+1−√n−1=		=
	√n+1+√n−1		√n+1+√n−1

	a		−1		√n+1+√n−1		−1
lim		=		*		=		*c
	b		√n+√n+1/n		2		2

	√n+1+√n−1
c=
	√n+√n+1/n

oblicz lim c

Saizou : jak mi się będzie nudzić to spoko xd

Hajtowy: C=1?

Saizou : tak zatem....

Hajtowy:

	1
zatem lim = −
	2

Saizou : ale masz błędny zapis, bo lim.... jest z czegoś

Hajtowy: no wiem nie chcialo mi sie pisac xD

Saizou : teraz następny przykład

Hajtowy: next

	√n2+1−√n		n+1−√n
limn→∞		=		= ... ?
	4√n3−n−n		4√n3−n−n

Hajtowy: Jakis pomysł?

Hajtowy:

n+1−√n
	=
4√n(n2−1)−n

Saizou : zrób tak jak ja zrobiłem rozbij na licznik i mianownik, uprość maksymalnie i myśl podpowiem że do mianownika zastosuj wzór a⁴−b⁴

razor: dlaczego √n²+1 = n+1?

Hajtowy: razor no tak... przeszarżowałem

Hajtowy: Najprostszym z możliwych sposobów chcę to rozwiązać Zero kombinowania

Hajtowy: Za pomocą sprzężenia wyszło mi...:

	n2−n+1
... =
	(4√n3−n−n)*(√n2+1+√n)

Saizou :

	n2−n+1
l=√n2+1−√n=
	√n2+1+√n

	−n4+n3−n
m=4√n3−n−n=
	(4√n3−n+n)(√n3−n+n2)

l		n2−n+1		(4√n3−n+n)(√n3−n+n2)
	=		*		=
m		√n2+1+√n		−n4+n3−n

n2−n+1		(4√n3−n+n)(√n3−n+n2)
	*
−n4+n3−n		√n2+1+√n

i dalej.....

Hajtowy: A nie da rady tego zrobić tak jak ja ?

Saizou : ale co ty tam zrobiłeś ?

Hajtowy: No przez sprzężenie chcę to zrobić, bo tej Twojej metody jakoś nie ogarniam xd

Saizou : w sensie że tak

√n2+1−√n		4√n3−n−1
	*
4√n3−n−1		4√n3−n−1

Hajtowy: no tak no i z tego mi wyszło co tam wyszło

Hajtowy: Ale licznik się chyba "sprzęża" a nie mianownik

Saizou : pokaż może swoje obliczenia

Hajtowy:

√n2+1−√n
	=
4√n3−n−n

	√n2+1−√n		√n2+1+√n
=		*		=
	4√n3−n−n		√n2+1+√n

	a2−b2		n2+1−n
		=		=...
	(4√n3−n−n)(√n2+1+√n)		(4√n3−n−n)(√n2+1+√n)

dalej nwm

Saizou : wyciągnij n z ⁴√n³−n−n oraz n z √n²+1+p{n]

Hajtowy: Wtedy zostanie mi w mianowniku (⁴√n²−1−1)(√n+1/n+√1)

bezendu: Hajtowy wszystko ma swoje limesy. Dobranoc

Hajtowy: Ma ma Szkoda czasu tego pisać , piszemy bez xD Dobranoc

Hajtowy: Albo... (n*⁴√n²−1−1)(n*√n+1/n+1) sam już nwm

Saizou : ⁴√n³−n−n=⁴√n⁴(1/n−1/n³)−n=n(⁴√1/n−1/n³−1) √n²+1+√n=n(√1+1/n²+√1/n)

Hajtowy:

	1
=		=−1?
	−1

Saizou : tak

Saizou : p, r są oczywistymi przykładami

Hajtowy: p) a²−b² ? r) hm... no nwm

Saizou : tak samo jak w p

Hajtowy: No mi tu coś nie idzie ... √n²+4n−n = n²+4n−n²=4n

Saizou : a²−b²=(a+b)(a−b)

	a2−b2
a−b=
	a+b

	n2+4n−n2
lim √n2+4n−n=
	√n2+4n+n

Hajtowy: p) a²−b² = 2n+1 − (2n−1) = 2n+1 −2n+1 = 2 W odp. 0 Czyżby juz była za późna pora na myślenie i nawet tego nie potarfie już zrobić

Saizou :

	a2−b2
a−b=
	a+b

	2n+1−2n+1
lim √2n+1−√2n−1=
	√2n+1+√2n−1

Hajtowy:

2		2
	=		=0 ?
√2n+1+√2n−1		∞

Saizou : no tak

Hajtowy: a w tym wcześniejszym?

	4n
r)		=... ?
	√n2+4n+n

Saizou : wyciągnij n z mianownika

Hajtowy: n(√n+4+1) ?

Saizou : nie n(√n+4+1)=n√n+4+n=√n²(n+4)+n=√n³+4n²+2

Hajtowy: n+√n(n+4) ?

Saizou : √n²+4n+n=√n²(1+4/n)+n=n√1+4/n+n=n(√1+4/n+1)

Hajtowy:

	4n		∞
=		=		=2?
	√n3+4n2+2		∞+2

Saizou :

	∞
nie,		to symbol nieoznaczony
	∞

Hajtowy: Czyli nieoznaczony ma wyjść czy 2?

Saizou :

	4n		4		4
lim		=		=		=2
	n(√1+4/n+1)		√1+4/n+1		2

Hajtowy: Dobra... koniec na dziś z tym, bo zgłupiałem totalnie już Trzeba dać odpocząć mózgowi

Hajtowy: Dzięki Ci WIELKIE za pomoc i wgl za wytrwałość

Saizou : To miłego Jutro też jest dzień na naukę xd

Saizou : Przynajmniej sam też się uczę