wektory liniowe Wiola: Sprawdź, czy następujące wektory są liniowo niezależne. a) (1, 0, 3,), (2, 0 ,6) ∊ R³ b) (2, −1, 2), (1, 0, 2) ∊ R³ c) (1, 2, 3) , (1, 0, 2) ∊ R³ d) [1 2], [4 3], [1 1] ∊ M₂2 (ℛ) [3 4] [2 1] [1 1] e) (1, 2, −1,5), (2, 3, 1, 2), (2, −2, −1, −1), (1, 2, −1, −2) ∊ ℛ⁴

daras: skorzystaj z definicji

Wiola: Przynajmniej jeden przykład proszę o rozwiązanie żeby wiedzieć jak to zrobić

Gray: v₁,v₂,....,v_n są liniowo niezależne, jeżeli jedynym rozwiązaniem równania: α₁v₁+α₂v₂+....+α_nv_n = 0 jest rozwiązanie zerowe, tj. α₁=α₂=....=α_n= 0. Np. b) α₁(2,−1,2) + α₂(1,0,2) = (2α₁+2α₂,−α₁,2α₁+2α₂) = 0 = (0,0,0) ⇔ 2α₁+2α₂=0 −α₁=0 2α₁+2α₂ Rozwiązaniem tego układu jest α₁=0 oraz α₂=0 zatem wektory są liniowo niezależne. Można też szybciej to rozwiązać, ale ta metoda jest najbardziej uniwersalna.

Gray: Widzę drobną pomyłkę, ale ona nie ma wpływu na wynik: suma z lewej to (2α₁+α₂,−α₁,2α₁+2α₂)

Wiola: a możesz jeszcze z ta macierzą ?, bo nie wiem jak zacząć

Gray: Nie karz mnie każąc mi to pisać... Oznaczam te macierze jako A,B,C. Piszesz: α₁A+α₂B+α₃C = tu wymnażasz te macierz przez alfy i dodajesz wszystko siebie otrzymując jedną macierz 2x2 = 0 = macierz 2x2 złożona z samych zer. Porównujesz elementy stojąca na odpowiednich miejscach i masz do rozwiązania układ 4 równań z 3 niewiadomymi. Rozwiązujesz go. Jeżeli wyjdzie, że wszystkie alfy są zerami to są liniowo niezależne, jeżeli nie to nie.

Wiola: dodaje te 3 macierze ?

Wiola: [6 6] [6 6] taka wyszła i co dalej ?

Gray: Najpierw mnożysz przez nieznane współczynniki, potem dodajesz.