algebra
Ania: Podany wielomian rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste: x4 + 16
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania (działając na liczbach zespolonych). Utknęłam w
pewnym momencie i nie wiem jak rozwiązać to zadanie.
12 lis 16:46
Ania: up
12 lis 17:06
razor: to w końcu działamy na liczbach zespolonych czy rozkładamy na czynniki rzeczywiste?
12 lis 17:18
PW: Ciekawe podejście − rozłożyć na czynniki rzeczywiste, ale działając na zespolonych.
z4+16 = z4−(4i)2 = (z2−4i)(z2+4i).
Jak łatwo sprawdzić
(1+i)2 = 2i, zatem 4i = 2(1+i)2 = (√2 + √2i)2,
wobec tego
z2−4i = z2−(√2+√2i)2 = (z−√2−√2i)(z+√2+√2i).
Wiadomo ponadto, że jeżeli liczba u jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach
całkowitych, to pierwiastkiem jest także liczba u̅, w tym wypadku pierwiastkami są więc:
z1 = √2+√2i oraz z̅1 = √2−√2i, a także z2=−√2−√2i oraz z̅2 =−√2+√2i.
z4+16 = (z−z1)(z− z̅1)(z−z2)(z− z̅2)
Wymnożenie pierwszych dwóch i następnych dwóch wyrażeń w nawiasach daje żądany rozklad
rzeczywisty (na dwa nierozkładalne trójmiany).
12 lis 17:45
Ania: Dziękuję za pomoc
12 lis 17:56