Równanie z paramtetrem parametr: Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie? x²−2(m−2)x+m²−2m−3=0 Chyba mam jakiś błąd w rachunkach przy liczeniu delty, bo miejsca zerowe wychodzą mi m1=0 i m2=0

Kacper: Pokaż rachunki.

parametr: Δ = 4m²−16m+16−4m²+8m+12=−8m+28

parametr: Δm=64

J : ..masz trzy warunki: 1) Δ > 0 2) x₁*x₂ > 0 3) x₁ + x₂ > 0

parametr: Wiem, że mam trzy warunki. Rozwiązuję pierwszy, ale mi nie wychodzi i dlatego proszę o pomoc

J : .. a co Ci nie wychodzi ... wyznacz m tak, aby Δ > 0 ..

parametr: Wyżej już napisałam, co mi nie wychodzi

J : policz m₁ oraz m₂ ..gałęzie skierowane do góry ... i określ m ..

parametr: No właśnie w pierwszej wypowiedzi napisałam jaki mam problem. Wyznaczam m1 i m2, ale oba wychodzą mi = 0. Dlatego proszę, żeby ktoś policzył i mi spróbował pokazać, gdzie mam błąd, bo pewnie gdzieś w obliczeniach

J :

	28		7
..nie patrzyłem wyżej ... −8m + 28 > 0 ⇔ m <		⇔ m <		..
	8		2

parametr: no właśnie tyle mi wychodzi (tzn. Δ=−8m+28), ale potem liczyłam jakby kolejną deltę i wtedy Δ=64... Niezbyt chyba rozumiem, nie byłam w piątek w szkole, a wtedy zaczęli robić te zadania z parametrem i u koleżanki w notatkach to było robione takim sposobem, że jakby z pierwszej delty wylicza się kolejną (?)

parametr: Chyba już kompletnie tego nie rozumiem... Mógłby mi ktoś to jakoś wytłumaczyć

parametr: ?

PW: Δ jest funkcją parametru m: Δ(m) = −8m+28,

	7
policzyłaś dobrze, i J dobrze podpowiada: w takim razie Δ(m) > 0 ⇔m <		.
	2

Wiesz już, że aby równanie miało dwa rozwiązania, musi być

	7
m <		.
	2

To jest jeden z warunków, dalej zajmujemy się dwoma następnymi warunkami: x₁·x₂ > 0 i x₁+x₂ > 0. Nie licz tych x₁ i x₂, ale zastosuj wzory Viete'a: x₁·x₂ = −2m−3 x₁+x₂ = 2(m−2) − rozwiąż odpowiednie nierówności.

parametr: A nie muszę mieć pierwiastków z pierwszego warunku? Żeby potem wyznaczyć część wspólną ze wszystkich przedziałów?

parametr: ?

parametr: ROZWIĄZANE

PW:

	7
Δ(m) > 0 ⇔ m <
	2

(x₁>0 ∧ x₂ >0) ⇔ (x₁­·x₂ > 0 ∧ x₁+x₂ > 0) ⇔ −2m−3 > 0 ∧ 2(m−2) > 0 . Od samego początku jesteś przekonana, że te trzy warunki spełnione jednocześnie dają odpowiedź. Wiedza o tym, jakimi wzorami wyrażają się x₁ i x₂ w zależności od m nie jest potrzebna do rozwiązania. Właśnie temu służą wzory Viete'a − żeby trudne wzory na x₁ i x₂ ominąć, a zastąpić je czymś łatwiejszym, co jest podane w równaniu (przepisie na funkcję kwadratową) bez liczenia.

parametr: Już rozumiem, zrobiłam. Ale dalej mam problem z innymi zadaniami tego typu − na 6 wyszły mi 3

PW: Nie jest to łatwiutkie. Jak pisałaś wyżej − bywają zadania, w których Δ wyjściowego równania jest funkcją kwadratową zmiennej m. Wtedy dla tej funkcji kwadratowej musimy policzyć − kiedy jest dodatnia, kiedy równa zeru i kiedy ujemna. Niektórzy robią to licząc "drugą Δ", zazwyczaj oznaczaną Δ_m. I tu zaczyna się mylić jedno z drugim, niektórzy przy tej drugiej Δ tracą wątek. Po paru udanych próbach już będziesz wiedziała.