monotoniczność ciągów Cami: Witam mam problem z tym oto tutaj zadaniem: Sprawdzić, czy następujące ciągi są monotoniczne i ograniczone b_n=(n²+2n+1)/(n²−3) c_n= 2ⁿ/n! d_n= n⁽−1)ⁿ są jakieś dwa sposoby na liczenie tego: 1 poprzez odejmowanie od wyrazu n+1 − n lub dzielenie n+1/n oraz 2 poprzez porównanie podanego ciągu z 1 lub 0. W pierwszym sposobie: − nie wiem kiedy zastosować odejmowanie, a kiedy dzielenie; − i co dalej zrobić z tym? np. 2ⁿ+1/(n+1)! / 2ⁿ/n!= 2 / (n+1) W drugim sposobie: − nie mam pojęcia kiedy postawić znak > lub < między ciągiem, a tą 1, no właśnie! a może 0 np.[(n²+2n+1)/(n²−3)] >1 n>−2 Bardzo proszę o pomoc w wyjaśnieniu, bo potrzebuję tego na jutro....

Cami: proszeeeeee

Cami: podbijam

Cami: hej? ludzie, pomóżcie.....

Cami: czy ktoś pomoże?

ICSP: 1. Odejmowanie gdy masz funkcje wymierne, a dzielenie gdy masz potęgi oraz silnię Ewentualnie jeśli podejrzewasz, że jakiś ciąg nie jest monotoniczny możesz policzyć kilka pierwszych wyrazów.

Cami: a......... co z pozostałymi pytaniami:( baaaaaaaaaaaaaaardzoooooooooooo proszę o odp.

ICSP: Reszty nie potrafię rozczytać

Cami: to napiszę jeszcze raz z innej strony

Cami: Moim pierwszym pytaniem jest co ja mam dalej zrobić z tym przykładem: 2n + [ 1/(n+1)! ] / [2n/n!] = 2 / (n+1)

Cami: Moim drugim pytaniem jest czy znasz może ten sposób z "magicznym" porównywaniem danego ciągu z zerem lub jedynką chyba w zależności od tego czy ten ciąg jest rosnący czy malejący

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/przyklady9.html i zacznij pisać warunki z których sprawdzasz : a_n+1 − a_n = // obliczenia // = ...

an+1
	= // obliczenia // = ...
an

Cami: oooooooooooooooooo dzięki za tą stronę

Cami: jakie warunki? czego? co sprawdzam?

ICSP: monotoniczność możesz sprawdzać na jeden z dwóch sposobów, albo z a_n+1 − a_n , albo z

	an+1
		. Nikt nie będzie się domyślał z którego korzystasz, dlatego powinieneś napisać
	an

	an+1
na samym początku albo		albo an+1 − an
	an

Cami: ah racja, masz rację to jeszcze raz cn= 2n/n!

cn+1		2*(n+1)		n!		2
	=		*		= po wyciągnięciu n i skróceniu =
cn		(n+1)1		2n		n+1

ICSP:

	2
=		< 1 dla n ≥ 2
	n+1

Wniosek. Ciąg jest malejący dla n ≥ 2

Cami: skąd ten n≥2?

Cami: już wiem!

Cami: i ograniczeniem tego ciągu jest 2?

ICSP: ciąg jest malejący, wiec ograniczeniem górnym jest a₁.

Cami: 1? dla n należącego do naturalnych?

ICSP: c₁ Na inny ciąg popatrzyłem 0 ≤ c_n ≤ c₁ = 2 − ciąg jest ograniczony i malejący.

Cami: aha... to w takim razie jak te dwa pozostałe ciągi rozpisać? dn= n⁽⁻¹⁾ⁿ

	(n2+2n+1)
bn=
	(n2−3)

ICSP: d_n − jak występuje (−1)ⁿ to zazwyczaj ciąg nie będzie monotoniczny − policz kilka pierwszych wyrazów b_n − Zbadaj znak różnicy

Cami: a czy jeżeli ciąg jest niemonotoniczny to znaczy, że nie jest ograniczony?

Cami: a w tym ciągu b_n jak zbadam znak różnicy to mi wychodzi taki "tasiemiec" (wielomian)

	(−2)n2−10n−10
bn=
	n4+2n3−5n2−6n+6

co ja mam dalej z tym zrobić?

Cami: czy ktoś wie jak to zrobić?

Cami: podbijam