proszę o pomoc.... Ania: x⁴+x²+x−1<=0

M:

Jolanta: Dla x=−1. W(−1)=0. Skoro −1 jest pierwiastkiem to wielomian dzieli się przez x+1 x³−x²+2x−1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− x⁴+x²+x−1 : (x+1) −x⁴−x³ −−−−−−−−−−−−−−− −x³+x² x³+x² −−−−−−−−−−−−−−−− 2x²+x −2x²−2x −−−−−−−−−−−−−−−−− −x−1 x+1 −−−−−−− x³−x²+2x−1 można to rozlozyc?

Mariusz:

	1		1		1
(x −		)3 = x3 − x2+		x −
	3		3		27

	1		5		1		16
(x −		)3 +		(x−		) = x3 − x2 + 2x −
	3		3		3		27

	1		5		1		11
(x −		)3 +		(x−		) −		= x3 − x2 + 2x − 1
	3		3		3		27

	5		11
y3 +		y −		= 0
	3		27

Teraz możemy pomnożyć równanie przez z³

	5		11
y3z3 +		yz3 −		z3 = 0
	3		27

i przyjąć że

	5
z2+yz =
	9

Dostaniemy wtedy

	5
yz =		− z2
	9

	7		11
y3z3 +		yz*z2 −		z3 = 0
	3		27

	5		5		5		11
(		− z2)3 +		z2(		− z2) −		z3 = 0
	9		3		9		27

co da nam równanie kwadratowe na z³ Zamiast tego można przyjąć że pierwiastek równania

	5		11
y3 +		y −		= 0
	3		27

można zapisać w postaci sumy dwóch składników y = u + v

	5		11
y3 +		y −		= 0
	3		27

	5		11
(u+v)3 +		(u+v) −		= 0
	3		27

	5		11
u3+3u2v+3uv2+v3 +		*3(u+v)−		= 0
	9		27

	11		5
u3 + v3 −		+ 3(u+v)(uv +		) = 0
	27		9

Zapiszmy to równanie w postaci układu równań

	11
u3 + v3 −		= 0
	27

	5
3(u+v)(uv +		) = 0
	9

	5
Tutaj iloczyn (u+v)(uv +		) będzie zerem
	9

gdy co najmniej jeden z jego czynników będzie równy zero Jednak wcześniej założyliśmy że y = u+v więc czynnika u+v do zera nie przyrównujemy Otrzymujemy układ równań

	11
u3 + v3 =
	27

	5
uv = −
	9

Powyższy układ równań przypomina wzory Vieta dla równania kwadratowego tzn jeszcze wzorów Vieta nie mamy ale łatwo ten układ przekształcić do wzorów Vieta Niestety przekształcenie to nie będzie równoważne Będziemy zatem musieli wyeliminować pierwiastki obce z rozwiązania tego układu

	11
u3 + v3 =
	27

	125
u3v3 = −
	729

	11		125
t2 −		t −		= 0
	27		729

	11		121		500
(t −		)2 −		−		=0
	54		2916		2916

	11		621
(t −		)2 −		= 0
	54		2916

	11−√621		11+√621
(t −		)(t −		) = 0
	54		54

	44−12√69		20+12√69
(t −		)(t −		) = 0
	216		216

	1
u =		3√44−12√69
	6

	1
v =		3√44+12√69
	6

Niech u₀ oraz v₀ będą pierwiastkami trzeciego stopnia z liczb odpowiednio

44−12√69		44+12√69
	,
216		216

spełniającymi układ równań

	11
u3 + v3 =
	27

	5
uv = −
	9

to wówczas jeżeli przyjmiemy że ω = e^2/3iπ pozostałymi parami u oraz v spełniającymi wyżej wymieniony układ równań będą (u₁,v₁) = (u₀ω,v₀ω²) (u₂,v₂) = (u₀ω²,v₀ω)

	1		1
y =		3√44−12√69 +		3√44+12√69
	6		6

	1		1
x −		=		(3√44−12√1397 + 3√44+12√69)
	3		6

	1
x =		(2 + 3√44−12√69 + 3√44+12√69)
	6

Jeden pierwiastek będzie rzeczywisty a dwa zespolone Nie widzę innego sposobu

Jolanta: Uff skomplikowane

Mariusz: Może istnieje szybszy sposób ale ja go nie widzę Przedstawiony przeze mnie sposób jest dość ogólny bo działa dla każdego równania trzeciego stopnia ale jeżeli będziemy trzymać się metody algebraicznej trzeba korzystać z liczb zespolonych