Granice kolos: Wykazać z definicji, że lim ⁿ√n = 1 n→∞ Z góry dzięki.

kolos: Na ćwiczeniach robiliśmy to tak:

	2		4
|n√n−1|=n√n−1≤		<ξ ⇒ n>
	√n		ξ2

	2
Tylko nie wiem dlaczego można tak opuścić wartość bezwzględną i skąd się wzięło		?
	√n

Godzio: Najpierw oszacujmy sobie:

	N i
n = (1 + (n1/n − 1) )n = ∑i=0n		(n1/n − 1)]i =

	n 0		n 1		n n
=		+		(n1/n − 1) + ... +		(n1/n − 1)n ≥

	n 2		n(n − 1)
≥ 1 +		(n1/n − 1)2 = 1 +		(n1/n − 1)2
			2

Stąd

	1
n1/n − 1 ≤
	√2n

Ustalmy ε > 0. Chcemy pokazać, że istnieje N takie, że dla każdego n ≥ N mamy |n^1/n − 1| < ε

	1		1		1
|n1/n − 1| ≤		<		= ε ⇔ n =
	√2n		√n		ε2

	1
Niech N = [		] wówczas nierówność |n1/n − 1| < ε jest zawsze spełniona, a stąd
	ε2

otrzymujemy, że n^1/n → 1

Godzio:

	2
I się walnąłem Powinno być oczywiście		, dalej sobie już zmienisz, otrzymasz to co
	√n

na ćwiczeniach

kolos: ok, dzieki wielkie