f algebra: W ciele Z₁₇ rozwiąż równania: a) 8x = 1 b) 9x = 16 c) −10x = 11

Mila: a) w₁₇={17,34,51,68,85,102, 119,...} 8x=1(mod 17) /15 120 x=15 (mod17) 1x=15 (mod17) b) 9x=16 (mod 17) /*2 18x=32(mod17) 1x=15 (mod 17) c)−10x=11 (mod17) 7x=11 (mod 17) /*5 35x=55(mod17)=4(mod17) 1x=4 (mod 17)

algebra: dzięki ale nie bardzo to rozumiem , czemu w przykładzie a) podzieliłaś przez 15 ?

algebra: *pomnożyłaś skąd wiedziałaś że przez tyle trzeba pomnożyć ?

Mila: Szukałam iloczynu 8*k większego o 1 od którejś wielokrotności liczby 17. wiem, że 8*15=120. Tabliczka mnożenia trochę bardziej skomplikowana.

algebra: zakładając że nie ma się kalkulatora przy tym zadaniu

Mila: No , to wszystko przecież obliczenia pamięciowe. Jaką metodą Cię uczyli na ćwiczeniach, algorytm Euklidesa?

algebra: był ten algorytm, ale nie zawsze trzeba go stosować, a w przypadku b) to jak do tego doszedłaś aby pomnożyć przez 2 ?

Mila: 9*2=18 to jest o jeden więcej niż 17 18x(mod17)=1x(mod17)

algebra: a w przypadku c) dlaczego * 5 ? bo 7 * 5 = 35 i to nie jest o 6 większe od 17

Mila: Możesz tak: 9x=17k+16 podstawiasz za k 9x=17*1+16=33 brak x∊N 9x=17*2+16=34+16=50 brak x∊N 9x=17*3+16=51+16=67 nie 9x=17*4+16=68+16=84 9x=17*5+16=85+16=101 nie 9x=17*6+16=102+16=118 nie 9x=17*7+16=135 suma cyfr dzieli się przez 9 135:9=15 x=15 (mod17)

algebra: a w przypadku c) dlaczego * 5 ? bo 7 * 5 = 35 i to nie jest o 6 większe od 17

Mila: 35 jest o jeden większe od 34 (wielokrotności 17)

algebra: ale w przykładzie c) nie było trzeba wyznaczyć liczby większą o 6 od liczby 17 ? bo jest 7x=11

algebra: ?

Mila: 7*4=28=17*1+11 x=4 (mod17) liczby dodatnie spełniające ostatnią zależność x=4(mod17) ..,4, 21,38, sprawdzenie równania: 7x=11 (mod 17) 7*4=28=17+11 7*21=147=17*8+11 Sprawdzenie równania wyjściowego −10x=11 (mod11) −10*4=−40(mod 17)=−40+3*17=−40+51=11

algebra: a to skąd wiedziałaś aby szukać liczby o 1 większej od 17 ? Bo nie mogę tego zrozumieć jak tam jest = 11 a nie = 1

Mila: 18x=1x(mod17) to wyrażenie z lewej, z prawej zostaje w tym przypadku.

algebra: c)−10x=11 (mod17) 7x=11 (mod 17) /*5 35x=55(mod17)=4(mod17) 1x=4 (mod 17) tu nigdzie nie ma z prawej strony 1

Mila: −10x=11(mod17) Zamiast (−10x) możemy zapisać 7x bo to jest dodawanie mod(17), zatem −10x+17x=7x 11 nie zmieniamy z prawej strony 7x=11(mod 17) obie strony mnożymy przez 5 35x=55(mod17) 35x=2*17x+1x to 2*17x możemy opuścić i mamy: 1x=3*17+4 co zapiszemy 1x=4(mod17) Zasada działań. W łatwiejszym przypadku mod(5) 7=2(mod5) 7+5=12=2 (mod5) 3+4=7=2 (mod5) 3x=2 (mod5) \*7 21x=14(mod5)⇔ 4*5x+1x=2*5+4⇔ 1x=4(mod5)

algebra: akurat już to rozumiałem co rozpisałaś żę dodajemy 17 do −10 ale nadal nie mogę zrozumieć skoro mamy zapis: 7x = 11 to dlaczego szukamy takiego 'xa który ma reszte z dzielenia 1, a nie 6 bo 17 − 11 = 6

algebra: nadal nie rozumiem jak dobierać te liczby przez które mnoże

algebra: zawsze trzeba robić tak aby w przedostatnim działaniu z lewej strony była liczbax która ma reszte 1 w Z₁₇ ?

Mila: Może idź dzisiaj spać, jutro, będziesz lepiej myśleć. 21:08 może Ci lepiej będzie zrozumieć.

algebra: ale zawsze trzeba robić tak aby w przedostatnim działaniu z lewej strony była liczbax która ma reszte 1 w Z17 ? bo tak w tych trzech przykładach zrobiłaś.

Mila: To są moje takie sposoby, przecież możesz zrobić inaczej. W tych przykładach tak mi ładnie wychodziło. Jaką Ty masz propozycję? ICSP zdaje się podpowiadał inną metodę.

algebra: aha bo nie mogłem tego zrozumieć jak to rozwiązujesz teraz już wiem