trzy ciągi Cami: Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice: lim pierwiastek st. n z (n2ⁿ + 1) i wiem to: ten pier. st. n z (n2n+) ≥ pier. st. n z (n2ⁿ) = pier. st. n z n razy pier. st. n z 2ⁿ czyli granica równa 2 oraz pier. st. n z (n2n+) ≤ pier. st. n z (n2ⁿ+n) = pier. st. n z n razy pier st. n z (2ⁿ+1) −−−−−> ten pierwiastek st. n z n dąży do +∞, ale jak rozpatrzyć ten drugi pierwiastek? proszę o pomoc

Janek191: b_n = ⁿ√ n *2ⁿ + 1 a_n = ⁿ√ n*2ⁿ c_n = ⁿ√ 2n*2ⁿ więc a_n ≤ b_n ≤ c_n oraz lim a_n = 2 i lim c_n = 2 n →∞ n → ∞ więc na mocy tw. o trzech ciągach lim b_n = 2 n →∞

Gray: ⁿ√n2ⁿ+1 ≤ ⁿ√n2ⁿ+n → 2, bo ⁿ√2ⁿ+1 = 2 ⁿ√1+1/2ⁿ

Janek191: ⁿ√ n*2ⁿ = ⁿ√n*ⁿ√2ⁿ = ⁿ√n*2 a lim ⁿ√n = 1 n → ∞

Cami: dlaczego (c_n) wygląda tak, a nie inaczej? gdzie się podziała jedynka i dlaczego robisz 2 razy n2ⁿ?

Janek191: ⁿ√2n*2ⁿ = ⁿ√2*ⁿ√n*2 ⁿ√2 → 1 ⁿ√n → 1

Janek191: Masz wszystko napisane n 2ⁿ < n 2ⁿ + 1 oraz n 2ⁿ + 1 < n 2ⁿ + n 2ⁿ

Cami: coś..... coś nie tak..... jak z n√2n*2ⁿ zrobiło się to pier (zawsze z n będzie ok?) 2 * pier z n i to dopiero razy 2

Cami: już rozumiem dziękuję

Cami: a jeszcze mam pytanie

Cami: bo mam inny przykład lim pierwiastek z(n+1) z (2n+3) to na pewno jest ≥2n≥1 a z drugiej strony ≤2n+3*2n ≤ 2n*4 i pierw z 2n → 1 i pierw z 4 również

Janek191: Pisz porządnie, bo nie wiadomo co tam jest ?

Cami: jest tak lim pierwiastek stopnia (n+1) z liczby (2n+3) n→∞

Cami: wszędzie jest ten pierwiastek, ale dla wygody aby tutaj napisać go opuszczam

Cami: więc 1 ≤ 2n ≤ 2n+3 ≤ 2n+3*2n ≤ pier. z 2n * pier. z 4

Janek191: n → ∞ ⇒ n + 1 → ∞ b_n = ⁿ√2 n + 3 a_n = ⁿ√ 2n = ⁿ√2*ⁿ√n c_n = ⁿ√ 2 n + 2 n = ⁿ√4 n =ⁿ√4*ⁿ√n a_n ≤ b_n ≤ c_n oraz lim a_n = 1*1 = 1 lim c_n = 1*1 = 1 n → ∞ n → ∞ więc na mocy tw. o trzech ciągach lim b_n = 1 n →∞

Cami: dlaczego w taki sposób trzeba rozpisać (c_n)? to jest jakiś "sposób magiczny"? od czego to zależy? t w jaki sposób znajdować te mniejsze i większe ciągi?

Janek191: Mogło być c_n = ⁿ√ 2n + n = ⁿ√3n ≥ b_n

Cami: ale mógłbyś mi powiedzieć skąd to bierzesz?

Janek191: Z głowy Trzeba takie ciągi dobierać, by zachodziły nierówności : a_n ≤ b_n ≤ c_n oraz by lim a_n = lim c_n n →∞ n→∞

Cami: to jeszcze jedno pytanie czy jeżeli jest pierwiastek stopnia (n+1) lub stopnia (n+2) itd. to czy można po zapisaniu że n→∞ i np. (n+1) → ∞ rozpatrywać po prostu dalej jako pier n−tego stopnia? zawsze w takich zadaniach można?

Janek191: Tak mi się wydaje bo przy n → ∞ również n + k → ∞ , k − ustalona liczba , k ∊ ℕ Ale niech się jeszcze ktoś wypowie na ten temat. −−−−−−−−−−−−−−−− n + 1 = m ⇒ [ n → ∞ ⇒ m → ∞ ] oraz 2 n + 3 = 2 n + 2 + 1 = 2*( n + 1) + 1 = 2 m + 1 więc mamy lim pm{ 2 m + 1} m →∞

Cami: Czy mógłby się jeszcze ktoś wypowiedzieć czy to jest prawda?