Zbieżność jednostajna Asia: zbadaj jednostajną zbieżność ciągów funkcyjnych: 1). fn(x) = ne⁽−nx) fn : (0,+∞)→R 2). fn(x) = xⁿ fn : [−1/2,1]→R 3) fn(x) = (xⁿ)/(1+xⁿ) fn : [0, +∞)→R 4) fn(x) pierwiastek n−tego stopnia z (1+xⁿ) fn : [0, +∞)→R mógłby ktoś to ładnie wytłumaczyć?

Asia: w pierwszym jest fn(x) = ne^−nx pomocy! nie moge sobie z tymi przykladami poradzic pare dni...Najpierw trzeba zbadać zb. punktową, ne^nx przy n dążącym do ∞ musi zbiegać do jakiejs funkcji i juz na tym leże...

Gray: Badanie zbieżności punktowej to jak badanie zbieżności funkcji zależnej od parametru. Np. 1) x>0 − ustalone. Liczymy granicę po n→∞. ne^−nx → ∞ * 0, czyli przekształcamy:

	n		∞		1
ne−nx =		=		=H		→ 0
	enx		∞		xenx

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− przy liczeniu granicy skorzystałem z reguły de l'Hospitala − trzeba się wytłumaczyć, że wolno −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Oznacza to, że ciąg f_n jest punktowo zbieżny do funkcji zerowej. Jeżeli chodzi o zbieżność jednostajną to sytuacja jest trochę gorsza. Funkcja x→f_n(x) jest malejąca w (0,∞), a jej supremum to n, tj. sup_x∊(0,∞)|f_n(x)|=n. Licząc z tego granicę otrzymujemy ∞. Czyli funkcja nie jest jednostajnie zbieżna do funkcji zerowej (a to był jedyny kandydat, gdyż ze zbieżności jednostajnej wynika zbieżność punktowa).

Gray: Ad. 2) Zbieżność punktowa: dla x∊(−1/2,1) (bez 1!) mamy: xⁿ→0. Dla x=1 mamy: 1ⁿ = 1. Stąd ciąg funkcyjny jest punktowo zbieżny do funkcji określonej wzorem: f(x) = 0, dla x∊(−1/2,1); f(1)=1. Ponieważ sup_{x∊(−1/2,1]}|f_n(x)|=1 zatem ciąg ten nie jest jednostajnie zbieżny do funkcji zerowej.

Asia: a jak liczyć to supremum? za pomocą różniczkowania doszłam do ne^−nx(1−n) ......i jak z tego niby wyciagnać supremum ?

Gray: W przypadku tej funkcji to akurat najłatwiej z wykresy odczytać: dla jakiego x>0 funkcja x→ne^−nx jest największa?

Asia: nie mogę jakoś tego odczytać, mi sie cały czas wydaje, że dla n to funkcja bedzie miała minimum bo mianownik tego wyrazenia: n/e^nx będzie najwiekszy, a co za tym idzie całość najmniejsza....

Gray: Tę funkcję badasz jako funkcję zmiennej x; n jest ustalonym parametrem. Masz więc funkcję, która jest jak np. 2e^−2x. Ponieważ e^−2x maleje więc największa jest dla x=0 − to jest supremum (a nie maksimum) bo nie jest osiągane dla x>0. To samo jest dla ne^−nx.

Asia: no to własnie dlaczego supremum dla ne^−nx jest równe n, a nie 0?

Asia: przepraszam za niekumację i dziękuje z góry za cierpliwość

Gray: Kochanie Supremum to maksymalna wartość funkcji, a nie punkt w którym ta wartość jest osiągana.

Asia: Dzięki Co w przypadku trzeciego przykładu... f punktowo zbiega do 1 pochodna|fn(x)−f(x)| = −^nxn−1_(1+xⁿ)² po przyrównaniu tego do 0 otrzymuje maksimum x = 0 to teraz fn(0) = 0 ....co to znaczy ? Bo rozumiem ze granicy z tego nie liczyć...

Asia: pochodna = − (nxⁿ⁻¹/(1+xⁿ)²) (wczesniej coś nie pykło)

Gray:

	xn
1. x∊[0,1):		→ 0, bo xn →0.
	1+xn

	xn		1
2. x=1:		=
	1+xn		2

	xn
3. x>1:		→ 1.
	1+xn

f(x) = 0, dla x∊[0,1), f(1)=1/2, f(x)=1, dla x>1 − do takiej funkcji zmierza ciąf f_n punktowo.

Gray: sup_x∊[0,+∞)|f_n(x)| = 1 czyli nie zmierza jednostajnie ani do funkcji zerowej, ani funkcji stałej równej jeden (bo również sup_x∊[0,+∞)|f_n(x)−1|=1).

Gray: Jeszcze jedno: mam wrażenie, że nie pamiętasz o następujących faktach. Fakt 1. Jeżeli ciąg f_n zbiega do funkcji f jednostajnie, to ciąg ten zbiega do funkcji f punktowo. Fakt 2. Granicą jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest funkcja ciągła. Dlatego zaczynamy rachunki od wyznaczenia granicy punktowej − to jest proste, a funkcja graniczna jaką uzyskujemy jest jedynym kandydatem na granicę jednostajną. Ponadto, ponieważ wszystkie Twoje funkcję są ciągłe więc i ich jednostajna granica musi być ciągła. W przykładach 1), 2) i 3) te funkcje nie wyszły ciągłe, więc Twoje ciągi nie są zbieżne jednostajnie do żadnej funkcji.