granice ciągów tabaluga95: cześć 1. jak sprawdzić czy ciąg jest ograniczony z dołu czy z góry? 2. jak zbadać czy ciąg jest monotoniczny od pewnego miejsca?

PW: 1. Zgadnąć ograniczenie i pokazać, że się nie mylimy. Druga metoda: rozwiązać nierówność a_n ≤ M pokazując dla jakiej M rozwiązaniami są wszystkie n∊N. Wtedy M jest ograniczeniem z góry.

tabaluga95: a co to M?

PW: A definicję ciągu ograniczonego znasz, czy chcesz wiedzieć "jak to się robi"?

tabaluga95: no coś tam znam czyli M to jest granica?

PW: To znaczy jeszcze nie przeczytałeś definicji ciągu ograniczonego.

tabaluga95: Mam taką napisaną: Ciąg (a_n) nazwiemy ograniczonym jeśli istnieje M≥0 takie że |a_n|≤M i nie dużo z tego − jak dla mnie− wynika

tabaluga95: skąd to M się bierze?

Saizou : szukamy takiej liczby M że wszystkie wyrazy ciągu a_n są ≤M

	1
np. weźmy ciąg an=
	n

z dołu jest ograniczony przez 0, bo jeśli n będzie bardzo duże to wartości będą bliskie 0 (jest też ograniczony z dołu przez każą z liczb mniejszych od 0) a z góry przez 1, bo dla n=1 mamy 1 (ograniczeniem górnym są też liczby większe niż 1)

tabaluga95: a w takim przykładzie?

	2+cosn
an =
	3−2sinn

PW: −1 < cosn < 1 1 < 2 + cosn < 3 −1 < sinn < 1 2 > −2 sinn > −2 5 > 3−2sinn > 1 Mamy dwie liczby dodatnie: a = 2 + cosn b = 3−2sinn, o których wiemy, że 1 < a < 3 1 < b < 5, inaczej: 1 < a < 3

	1		1
		<		< 1
	5		b

Mnożąc stronami ostatnie nierówności (czynność dopuszczalna dla nierówności o skrajnych wyrazach dodatnich) otrzymamy

	1		a
		<		< 3.
	5		b

W ten sposób mamy ograniczenie z góry i z dołu:

	1
		< an < 3.
	5