Udowodnij, że jeśli funkcja ania95: Udowodnij, że jesli funkcja f : R −> R jest okresowa, to funkcja g : R −> R zadana wzorem g(x) = |f(x)| również jest okresowa. Co można powiedzieć o okresie podstawowym g, jeśli okres podstawowy f wynosi T? Z góry dzięki i pozdrawiam

Gray: Prawdziwy jest dużo bardziej ogólny fakt: jeżeli f, g :R→R oraz f jest okresowa, to funkcja g o f również jest okresowa. Oto szkic dowodu. Szukamy M>0 aby (g o f)(x) = (g o f)(x+M), dla x∊R. Rozpisując mamy: g(f(x)) = g(f(x+M)), ale ponieważ f jest okresowa o okresie T, to przyjmując M=T mamy co trzeba. Gdyby funkcja g była różnowartościowa to okres g o f jest taki sam jak okres f (wynika z definicji funkcji różnowartościowej). Skoro g(x) = |x|, to nie jest ona różnowartościowa. Oznacza to, że okres podstawowy g o f może być mniejszy niż T. Przykład: sinx − okresowa o okresie 2π; |sinx| − okresowa o okresie π.