ściśle rosnąca i malejąca Cami: Pokazać, że funkcja f(x)=x+1/x, x różne od 0 jest ściśle rosnąca na przedziale [1, niesk.) oraz ściśle malejąca na przedziale (0,1]. Bardzo proszę o proste wyjaśnienie jak to "pokazać"

===:

	1
f'(x)=1−
	x2

	1		1
1−		>0		<1 ⇒ x2>1 − i wszystko jasne −
	x2		x2

Cami: wcale nie..... ale.... ale jak to? skąd? dlaczego? z jakiej racji? nie można tego jakoś rachunkami "pokazać"?

J : .. to przecież są rachunki ... oraz ilustracja graficzna...

Cami: no są ok... ale skąd się bierze f'(x)=1−1/x²? i skąd są większości i mniejszości? nie rozumiem..... i skąd mam wiedzieć jak tą funkcję narysować jak nie mam programu graficznego tylko czystą kartkę?

J : ... to po co chodzisz do szkoły ...?

Cami: przepraszam bardzo, że jak czegoś mi w szkole nie wytłumaczą to szukam odpowiedzi gdzie indziej!

ICSP: "Pokazać" − z definicji funkcji rosnącej i malejącej.

Cami: Def.: funkcji rosnącej: x₁<x₂ i f(x₁)<f(x₂) Def.: funkcji malejącej: x₁<x₂ i f(x₁)>f(x₂) więc mam teraz zamiast x podstawić x₁ i x₂? i co dalej z tą nierównością x₁+(1/x₂)<x₂+(1/x₂) ? oczywiście przy założeniu że x₁ i x₂ > 0

ICSP: Zła definicja.

Cami: funkcja monotoniczna funkcję f: R→R nazywamy: − rosnącą, jeżeli zależność x1<x2 implikuje f(x1)<f(x2) dla dowolnych x1,x2 należ do R − malejącą, jeżeli zależność x1<x2 implikuje f(x1)>f(x2) dla dowolnych x1,x2 należ do R − nierosnąca/ słabo rosnąca, jeżeli zależność x1<x2 implikuje f(x1)>=f(x2) dla dowolnych x1,x2 należ do R − niemalejąca/ słabo malejąca, jeżeli zależność x1<x2 implikuje f(x1)<=f(x2) dla dowolnych x1,x2 należ do R

ICSP: teraz dobrze.

	1
f(x) = x +		i mamy pokazać, ze w przedziale (0 ; 1] jest ona ściśle malejaca.
	x

Ustalmy teraz x₁ , x₂ takie ,że 0 < x₁ < x₂ ≤ 1

	1		1
f(x2) − f(x1) = x2 +		− x1 −		=
	x2		x1

	1		1
= x2 − x1 +		−		=
	x2		x1

	x1 − x2
= x2 − x1 +		=
	x1x2

	1
= (x2 − x1) * [1 −		] < 0
	x1x2

skąd : f(x₂) − f(x₁) < 0 f(x₁) > f(x₂) funkcja jest malejąca

Cami: rozumiem! dziękuję, a czy możesz jeszcze sprawdzić czy dobrze zapisuję rosnącą?

ICSP: Jeżeli wyrobisz się w 15 min

Cami: 1≤x₁<x₂ f(x₂)−f(x₁)= (x₂ −x₁) * [1−1/(x₁x₂)] >0 bo (x₂ −x₁)>0, to aby ta funkcja była rosnąca to [1−1/(x₁x₂)]>0 ⇔ 1/(x₁x₂)<1

ICSP: dwie pierwsze linijki dobrze. Trzecia niepotrzebna, ewentualnie gdzieś na marginesie :

	1		1
Jeżeli 1 ≤ x1 < x2 to : x2 − x1 > 0 oraz x1x2 > 1 ,		< 1 , 1 −		>
	x1x2		x1x2

0

Cami: dziękuję ogromnie za to! świetnie tłumaczysz! miałabym jeszcze jedno pytanie

ICSP: ?

Cami: bo nie mogę zrozumieć jak powinno się liczyć surjekcje w przypadku takiej funkcji: f(X)=(x+2, 2x+1) poprzez porównanie z zerem x+2 i 2x+1 szukając istnienia argumentu dla wartości (0,0) w innym gdzie jest podany przedział to się porównuję z obiema krańcowymi liczbami przedziału co mi daje, że nie wiem jak to obliczyć: y=(2x+1)/(x+2) dla x rożnych od −2; f: R→R

Cami: oczywiście rozumiejąc przez surjekcję zb wartości równy przeciwdziedzinie