Czy tu jest haczyk? Klaudia: Proszę o pomoc Mam wyznaczyć pochodną funkcji f(x) = √ln( cos ( 2πx)). Jak to ugryźć? Z definicji czy ze wzorów, bo nie wiem kiedy jak mam liczyć...

J : ... prosto...

	1		1
=		*		*(−sin(2πx))*2π ...
	2√ln(cos(2πx)		cos(2πx)

Gray: Wg mnie to jedno z zadań typu "Jak udowodnić studentowi, że nic nie umie"...

Gray: Nie mam teraz czasu na dokładne rachunki, ale ta funkcja najprawdopodobniej... nie jest różniczkowalna. Wrócę wieczorem zobaczyć co i jak

Klaudia: To jak z tą pochodną, bo juz sama nie wiem

PW: Żeby liczyć pochodną trzeba się upewnić, czy takie zwierzę istnieje (mimo że formalne wzory można pisać, trzeba pamiętać, że definicja funkcji może być idiotyczna − określać coś, co nie ma sensu). Krótko mówiąc − sakramentalne ustalenie dziedziny funkcji. cos(2πx) ma sens dla wszystkich x∊R, ale wartości cos(2πx) są liczbami z przedziału [−1,1] Kontynuuj, Klaudio − jak to dalej − można logarytmować? A pierwiastkować wartości tych możliwych logarytmów?

Gray: No właśnie... Szanowny PW naprowadza Cię na prawidłową odpowiedź, więc nie będę wchodził mu w paradę , ale zadanie jest perfidne...

PW: Przepraszam, to raczej ja przywłaszczyłem sobie Twoją uwagę. Zadanie jest rzeczywiście perfidnie piękne, zwraca uwagę na niefrasobliwe, mechaniczne stosowanie wzorów.

Gray: Ależ nie ma kłopotu Ja już za chwilę nie będę mógł pomóc, bo lecę na zajęcia, więc niech Szanowny Kolega przejmie pałeczkę Jeżeli będzie potrzeba...

Klaudia: To co zrobił J najbardziej mnie przekonywało. Ale jak, za Waszą sugestią, ustaliłam dziedzinę to wyszło mi, że składa się ona jedynie z liczb naturalnych... Dobrze? A to oznacza, że w mianowniku mamy zera, czyli ten wzór nie ma sensu Dobrze myślę? Jak w takim razie z pochodną tej funkcji?

Gray:

	f(x0 + h) − f(x0)
Dobrze. Pochodna funkcji f w punkcie x0 to limh→0		, o ile powyższa
	h

granica istnieje i jest skończona. To h, które występuje w tej definicji zmierza do zera, ale nigdy nie jest zerem (przecież jest w mianowniku; dopiero w granicy staje się zerem). To oznacza, że aby obliczyć pochodną musimy umieć wyznaczyć f(x₀) oraz f(x₀+h), dla h bliskich zero. W przypadku, gdy dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych, nie mamy takiej możliwości. Oznacza to, że Twoja funkcja nie ma pochodnej. Złośliwość tego przykładu jest duża, bo przecież mamy twierdzenie mówiące, że złożenie funkcji różniczkowalnych jest funkcją różniczkowalną. Pomimo tego, nie ma tu sprzeczności, ale to już inny temat...

PW: Krótko mówiąc: definicja pochodnej funkcji f w punkcie x₀ wymaga, aby f była określona w pewnym otoczeniu tego punktu. Badana funkcja nie spełnia tego warunku, gdyż jej dziedzinę stanowią liczby całkowite (żaden punkt dziedziny nie należy do dziedziny wraz z jakimkolwiek otoczeniem). Wniosek: Nie można liczyć pochodnej w żadnym punkcie, gdyż żaden punkt dziedziny nie spełnia warunku określonego w definicji pochodnej.