Oblicz pochodną Kasia: Jak rozwiac taki przyklady ? (Oblicz pochodna funkcji za pomoca wzorow na pochodne) a) √3+x² b) cos⁵(3x) c) tg⁴(x/6) d) e^{√pi − arc cos x} Proszę o pomoc, i udzielenie wstazówek jak sie rozklada te funkcje na Zewnetrzna i wewnetrzna [ f(x) i g(x)]

J :

	2x
a) f'(x) =
	2√3+x2

J : b) f'(x) = 5cos⁴(3x)*(−sin3x)*3 = −15sin3xcos⁴3x

Gray: Np. c) Niech f(x) = 3x, g(x) = cosx, h(x) = x⁵. Wówczas cos⁵(3x) = h(g(f(x)). Stąd: [ cos⁵(3x) ]' = [h(g(f(x))]' = h' (g(f(x)) * g'(f(x)) * f'(x) = ... ______________ ponieważ f'(x) = 3, g'(x) = −sinx, h'(x) = 5x⁴, ______________ ... = 5(g(f(x))⁴ * (−sin(f(x)) * 3 = 5(cos3x)⁴ * (−sin(3x)) *3 = −15 cos⁴3x * sin3x

J :

	1		2
c) f'(x) =4tg3(x/6)*(1 + tg2(x/6)*		=		tg3(x/6)(1 + tg2(x/6))
	6		3

J :

	−1   √1−x2
d) f'(x) =e√π − arccosx*A ... gdzie A =
	2√1−x2

	1
... = − e√π − arccosx*
	2(1−x2)

J : ... mała poprawka ...A = ... w liczniku 1 , a nie −1 .... i ostania linijka bez "−" na poczatku ...

Kasia: a skąd sie wział taki wynik w przykladzie a) ?

J : ... to funkcja złożona ... zewnętrzna ; f(x) = √x .. wewnętrzna: g(x) = x² + 3 .. ... pochodna z f(g(x)) = f'(x)*g'(x) ...

wredulus_pospolitus: może tak jak rozpoznać funkcję 'zewnętrzną' masz np. a) √3+x jest to nic innego jak (3+x)^1/2 ... co stoi 'wewnątrz' ? oczywiście 3+x ... a co będzie 'na zewnątrz' ? Pierwiastek czyli x^1/2

Kasia: pierwszy przyklad rozumiem , rozklada sie na dwie funkcje, ale przy trzech juz leże , patrze i nie widze, a moze daloby sie to stopniowo rozkladac jest taka mozliwosc ? najpierw na zewnetrzna i wewnetrzna , liczymy i potem znow rozkladamy ? U mnie na studiach piszemy , ( zeby niby bylo latwiej) nie f(x), g(x),h(x) tylko Z i W (zewnetrzna i wewnetrzna) i przy takich oznaczeniach ciezko rozbic na 3 funkcje i wtedy juz sie gubie.

Kasia: W każdym razie, bardzo dziekuje za pomoc, przeanalizuje sobie to jeszcze raz jak bede miala wiecej czasu i moze cos zrozumiem z tych trudniejszych ; ))

wredulus_pospolitus: tak to właśnie sie robi najpierw najbardziej zewnętrzna i się 'zagłębiasz' coraz bardziej np. b) f(x) = cos⁵(3x) = (cos (3x))⁵ najbardziej zewnętrzna jest x⁵ ... więc mamy: f'(x) = 5⁽cos(3x))⁴ * (cos (3x))' no to teraz patrzymy na tą g(x) = cos(3x) ... najbardziej zewnętrzna jest cos x ... więc mamy: f'(x) = 5⁽cos(3x))⁴ * (−sin(3x)) * (3x)' więc ostatecznie: f'(x) = 5⁽cos(3x))⁴ * (−sin(3x)) * 3

Kasia: + co to jest A w przykladzie d) i skad sie wzielo

wredulus_pospolitus: A to ten ułamek z pierwiastkami wynika on z pochodnej funkcji g(x) = arcos x

Kasia: super ! przyklad b) zrozumiany

wredulus_pospolitus: c) analogicznie f(x) = tg⁴(x/6) .... najbardziej zewnętrzna jest potęga czyli x⁴ zostaje nam (tg (x/6)) ... najbardziej zewnętrzna to tanges czyli tgx zostaje nam x/6 ... no i liczysz pochodną także z niej I to składasz 'do kupy'

Kasia: rozumiem ze licznik to pochodna funkcji arc cos x , a mianownik to pochodna funkcji √x tylko że zamiast x jest znow pochodna z arc cos x , tak? tylko czemu tam w koncu nie ma minusa

	−1
skoro pochodna z arc cos x =		?
	√1−x2

wredulus_pospolitus: d) e^{√π − arccos x} najbardziej zewnętrzną jest .... e^x więc mamy: f'(x) = e^{√π−arccosx} * (√π−arccosx)' teraz pierwiastek jest najbardziej zewnętrzną:

	1
f'(x) = e√π−arccosx * (−		) *(π−arccosx)'
	2√π−arccosx

i liczysz ostatnią pochodną i 'do kupy'