k Lukas: Wyznaczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej elementy pierwiastków ⁴√−16 ⁴√16i²=?

Godzio: −16 = 16( − 1 + 0i) = 2⁴(cos(π) + isin(π))

	π		π
z0 = 2(cos		+ isin		)
	4		4

	π		π		π		π
z1 = 2(cos(		+		) + isin(		+		)
	4		2		4		2

	π		π
z2 = 2(cos(		+ π) + isin(		+ π)
	4		4

	π		3		π		3
z3 = 2(cos(		+		π) + isin(		+		π)
	4		2		4		2

Lukas: A może mi powiedzieć jak to narysować ?

MQ: −16=16e^{iπ 4}√−16=(16e^iπ)^1/4=2e^{i(π/4+2kπ/4)}=2e^iπ(1/4+k/2), gdzie k=0, 1, 2, 3

Godzio: Narysuj sobie okrąg o środku w (0,0) i promieniu 2 i zaznaczaj punkty na nim: np. z₀ to punkt w układzie (√2,√2)

Lukas: Ale tutaj nie będzie kwadrat ?

Godzio: Będzie

Lukas: a jak takie coś ⁶√8 paskudnie tutaj wychodzi

Godzio: 8 = √2⁶(1 + 0) = √2⁶(cos(0) + isin(0)) z₀ = √2(cos0 + isin0)

	π		π
z1 = √2(cos(		) + isin		)
	3		3

	π		π		π		π
z2 = √2(cos(		+		) + isin(		+		)
	3		3		3		3

	π		2π		π		2π
z3 = √2(cos(		+		) + isin(		+		) = − z0
	3		3		3		3

z₄ = −z₁ z₅ = −z₂ Zauważ, że pierwiastki są symetryczne, więc szybko można wyliczać ich wartości

Lukas: To będzie sześciokąt foremny Tylko nie rozumiem tego 8=√2⁶ ?

Lukas: ?

Lukas: ?

Godzio: Tak. √2 =2^1/2 więc 8 = 2³ = 2^{6 * 1/2} = (2^1/2)⁶ = √2⁶

Lukas: Dzięki