zespolone Radek: Jak rozwiązać takie równanie (z−i)⁴=(z+1)⁴

Mila: (z−i)⁴−(z+1)⁴=0⇔ [(z−i)²−(z+1)²]*[(z−i)²+(z+1)²]=0⇔ (z−i−z−1)*(z−i+z+1)*[(z−i)²−i²(z+1)²]=0⇔ (−i−1)*((2z−i+1)*[z−i−i(z+1)]*[z−i+i(z+1)]=0 Dokończ.

Radek: na końcu wyszło mi takie coś [(−i−1)(2z−i+1)]2z²=0 (−2zi+2z−2)(2z²)=0 4(−zi+z−1)(z²)=0 −zi+z−1=0 lub z²=0

Radek: ?

Mila: (−i−1)*((2z−i+1)*[z−i−i(z+1)]*[z−i+i(z+1)]=0⇔ −i−1≠0 zatem 2z−i+1=0 lub z−i−iz−i=0 lub z−i+iz+i=0⇔ 2z=−1+i lub z*(1−i)=2i lub z*(1+i)=0⇔

	−1		1		2i
z=		+		i lub z=		= 1+i lub z=0
	2		2		1−i

Radek: Skąd aż 4 nawiasy ?

Mila: Ze wzorów skróconego mnożenia.Dwa razy. W drugimrozwiązaniu na końcu pomyłka,

	2i		2i*(1+i)
z=		=		=−1+i
	1−i		2

Radek: a²−b² (z−i+z+1)(z−i−z−1) tylko ten jest ze wzoru skróconego mnożenia

Mila: Sumę kwadratów : [(z−i)²+(z+1)²]=0 zamieniłam na różnicę kwadratów [(z−i)²−i²(z+1)²]=0 i też skorzystałam z wzoru skróconego mnozenia

Radek: ale skąd to i² jak tam takiego czegoś nie było ? [(z−i)²]²−[(z+1)²]²=0 [(z−i)²−(z+1)²][(z−i)²+(z+1)²] [(z−i−z−1)(z−i+z+1)][(z−i)²+(z+1)²] Są 3 a nie 4

Mila: i²=−1

Mila: Nie zmieniłam wartości wyrażenia, ale uzyskałam róznicę kwadratów.

Radek: A nie można moim sposobem tego dokończyć ?

Mila: Możesz, ale masz błąd w przekształceniach. (z−i)²+(z+1)²=2z²+(2−2i)z 2z²+(2−2i)z=0 teraz rozwiąż.

Radek: To jeszcze taki przykład z⁶−(1−i)¹²=0 (z³)²−[(1−i)⁶)²=0 ?

Mila: z⁶=(1−i)¹² z⁶=[(1−i)²]⁶ z=⁶√[−2i]⁶ z=⁶√−64 z₀=−2i szukaj pozostałych pierwiastków z wzoru;

	2kπ		2kπ
zk=(−2i)*(cos		+i si		,
	6		6

Radek: A czemu nie mogę na wzory skr mnożenia rozpisać ?

Mila: Kto powiedział, że nie możesz, możesz.

Radek: [z³−(1−i)⁶][z³+(1−i)⁶] [z³−((1−i)²)³][z³+((1−i)²)³] [(z−1+i)(z²+(1−i)z+(1−i)⁴][(z+1−i)(z²−(1−i)z+(1−i)⁴] Ale nadal 4 potęgi mam...

Kris: (z−i)⁴=(z+1)⁴

	z−i
(		)4 = 1
	z+1

z−i
	= 4√1 czyli
z+1

z−i = z+1 z−i = −(z+1) z−i = i(z+1) z−i = −i(z+1)

Mila: (1−i)⁴=[(1−i)²]²=(−2i)²=−4

Radek: O dziękuję !