nie wiem jak sie zato zabrać :) Force:

	4
Udowodnij ,że dla każdego x >0 x5−		x3++x>0
	3

J : .. pomnóz obustronnie przez 3 ... potem wykaż,że 3x⁴ − 4x² + 3 > 0 ..dla każdego x > 1

Kacper: Dlaczego dla x>1?

J : .... pomyłka ... x > 0 oczywiście...

PW: Można też zastosować nierówność między średnimi. Badana nierówność jest równoważna nierówności

	4
x5 + x >		x3,
	3

której lewa strona dla x> 0 spełnia nierówność: x⁵ + x ≥ 2√x⁵·x = 2√x⁶ = 2x³. Mamy więc

	4
x5 + x ≥ 2x3 >		x3,
	3

(przy czym ostatnia nierówność jest oczywista dla x>0), co należało wykazać.

	4
Uczeń "na poziomie rozszerzonym" może w tym miejscu dodać uwagę, że liczbę		w tezie
	3

można zastąpić dowolną liczbą rzeczywistą mniejszą od 2.

PW: Widzę z innych zapytań, że granice liczysz. Nie wiem, czy już opanowałeś pochodne, ale nawet jeśli nie − przyda się na przyszłość. Zadanie to można rozwiązać licząc pochodną:

	4
f(x) = x5 −		x3 + x
	3

f '(x) = 5x⁴ − 4x² + 1. Jest oczywiste, że f '(x) > 0 dla wszystkich x (kto nie wierzy, liczy Δ), a więc f jest rosnąca. Stąd i z faktu, że f(0) = 0 wynika, że dla x > 0 jest f(x) > 0.