funkcje cyklometryczne kyrtap: Może ktoś mi wyjaśnić czemu y = tg(arctgx) = x , y = arctg(tgx) = x, y = cos(arcsinx) = x

Lukas: jutro

razor: nie rozumiem pytania

Gray: arctg(tgx)=x tylko dla x∊(−π/2,π/2). Pozostałe zależności wynikają z definicji funkcji odwrotnej.

Gray: I w ostatniej nie cos(arcsinx)=x tylko sin(arcsin(x)=x.

kyrtap: nie czaję wiem o co chodzi w funkcji odwrotnej ale jeżeli chodzi o arcusy nie czaję

kyrtap: ktoś jest w stanie to łopatologicznie wytłumaczyć?

kyrtap: jestem w kropce

Gray: Tangens, jako funkcja okresowa, nie posiada funkcji odwrotnej. Jeżeli jednak ograniczymy tangensa do przedziału (−π/2, π/2) to jest tam różnowartościowy i posiada funkcję odwrotną. Matematycy umówili się, aby oznaczać ją artctg. Czyli arctg:R→ (−π/2, π/2) to funkcja odwrotna do funkcji tg:(−π/2, π/2)→R. Z definicji wynika więc, że arctg(tg(x) = x dla x ∊(−π/2, π/2) oraz tg(arctgx)=x, dla x∊R. Podobnie z sinusem. Nie jest różnowartościowy więc nie posiada.... Ale gdyby ograniczyć go do przedziału [−π/2, π/2] wszystko jest OK − jako różnowartościowy posiada funkcję odwrotną arcsin: [−1.1] → [−π/2, π/2]. Na podstawie definicji arcsin(sinx) = x dla x∊[−π/2, π/2] oraz sin(arcsinx)=x dla x∊[−1,1]. Stąd np. cos(arcsinx) = ... jedynka trygonometryczna ... = √1−sin²(arcsinx)) = √1−x²