monotonicznosc i ograniczonosc na poziomie uczeń: zbadac monotonicznosc i ograniczonosc ciagów. an=n!/nⁿ bn=(n!)⁴/(4n!) Wiem jak sie to liczy tzn monotonicznosc an+1−(an) a ograniczonosc to zapewne granice. Trudonsc sprawia mi silnia tutaj.

uczeń: up

Kris: Zauwaz ze wszystkie wyrazy sa dodatnie. Wiec mozesz zbadac monotonicznosc ze wzoru

	an+1
	an

i wiadomo juz ze jesli to > 1 to rosnacy jesli = 1 to stały a jesli < 1 to malejacy

uczeń: A coś wiecej, jak rozprawic sie z ograniczonoscia i sama silni,a

Gray: Zatem ograniczoność:

	n!		1		2		n
an =		=				...		≤1
	nn		n		n		n

	(n!)4		(n!)3
bn =		=		− to jest nieograniczone.
	4n!		4

Lub, gdyby się okazało, ze ciąg b_n wygląda odrobinę inaczej,

	(n!)4
bn =		≤1 − pokazuje się to tak samo jak dla ciągu an.
	(4n)!

J :

	n√n!		1
....istnieje też dowód,że lim		=
	n		e

	n!		n√n!		1
...zatem: lim		= lim (		)n = lim		= 0
	nn		n		e

J :

	1
.... = lim (		)n = 0 ...oczywiście...
	e

Gray: A monotoniczność:

an+1		(n+1)!		nn		n+1
	=				=		nn =
an		(n+1)n+1		n!		(n+1)n+1

	nn
=		≤1 → ciąg nierosnący.
	(n+1)n

Podobnie b_n.

uczen: A jakieś bardziej lopatologiczne wytłumaczenie tych przykladow