granice kyrtap: Znajdowanie asymptot Znajdź asymptoty funkcji:

	x3
y=
	x2 − 1

Mógłby ktoś te zagadnienie na tym przykładzie wytłumaczyć

Janek191: Asymptoty pionowe o równaniach: x = − 1 i x = 1 bo lim f(x) = − ∞ x → − 1⁻ lim f(x) = + ∞ x → − 1⁺ lim f(x) = − ∞ x → 1⁻ lim f(x) = + ∞ x → 1⁺

Janek191: Asymptota ukośna o równaniu y = x

kyrtap: co oznaczają te 1⁺ i 1⁻

Janek191: Bo

	f(x)
lim		= 1 = m
	x

x → +∞

	f(x)
lim		= 1 = m
	x

x → − ∞ lim ( f(x) − x} = 0 = k x → − ∞ lim ( f (x) − x) = 0 = k x → + ∞ Prosta o równaniu y = m x + k jest asymptotą ukośną , czyli prosta o równaniu y = 1*x + 0 = x

Janek191: 1⁺ − granica prawostronna ( dla x > 1) 1⁻ − granica lewostronna ( dla x < 1 )

kyrtap: kurde nie łapię tego

Janek191: Np. Granica lewostronna funkcji f w punkcie x₀ = − 1 czyli

	x3
lim		= − ∞
	x2 − 1

x → − 1⁻ bo x³ → − 1 x² → 1 , ale te kwadraty są > 1 , więc różnica x² − 1 > 0 i dąży do 0

− 1
	= − ∞
0+

Te iksy są mniejsze od (−1) np, − 1, 3 , − 1,2 ; − 1,1 więc ich kwadraty są równe 1,69 ; 1,44 , 1,21 , itd zbliżają się do 1 różnice x² − 1 są równe 0,69 ; 0,44, 0,21 itd zbliżają się do 0 ale są dodatnie więc iloraz U{ − 1} { 0⁺} → − ∞

kyrtap: każda asymptota określona jest wzorem y = mx + k

Janek191: y = m x + k − równanie asymptoty ukośnej

kyrtap: ok dzięki Janek

kyrtap: czyli mogę liczyć tylko f(x)/ x = m i f(x) −x = k w ten sposób wyznaczam każdą asymptotę

Janek191: Jeżeli istnieją granice właściwe

	f(x)
lim		= m i lim ( f(x) − m x) = k
	x

x → +∞ x → + ∞ to prosta y = m x + k jest asymptotą ukośną prawostronną krzywej y = f(x) Jeżeli istnieją granice właściwe

	f(x)
lim		= m i lim ( f(x) − m x) = k
	x

x → − ∞ x → − ∞ to prosta y = m x + k jest asymptota ukośną lewostronną krzywej y = f(x).

kyrtap: skąd mam wiedzieć czy te granice istnieją

kyrtap: patrząc na dziedzinę?

Janek191:

	1
Funkcja f(x) = 3 +		ma asymptotę poziomą o równaniu y = 3
	x

bo

	1		1
lim ( 3 +		) = 3 i lim ( 3 +		) = 3
	x		x

x→ −∞ x → +∞ i asymptotę pionową o równaniu x = 0.

kyrtap: patrzymy ze względu na granicę i dziedzinę tak?

kyrtap: czyli ta co podałem wyżej nie ma granicy właściwej prawda

Janek191: Patrz: W. Krysicki : Analiza matematyczna w zadaniach cz. I ( jest na pdf ) s.74 − 77 oraz rozdział X s.185 − 230

Janek191: Funkcja f nie ma granicy właściwej , ale istnieje granica właściwa funkcji

	f(x)
g(x) =
	x

kyrtap: czytając te książki i tak nic nie rozumiem, ale dzięki za pomoc Janek