Monotoniczność ciągu Kasia: Zbadaj monotoniczność ciagu a{n)=(1+1/n)ⁿ⁺¹

Jolanta: ciag jest rosnący jeśli a_n+1−a_n>0 malejący a_n+1−a_n<0 wyznacz a_n+1 w ten sposób, ze tam gdzie jest n podstaw n+1

Gray: Nikt? Sam jest ciekawy rozwiązania Wiemy, że to co różni ten ciąg od ciągu (1+1/n)ⁿ to monotoniczność właśnie − ten jest malejący. Granicę mają wspólną − e. Najprościej monotoniczność wykazać badając monotoniczność funkcji f:(0,∞)∍x→(1+1/x)^x+1 ∊R. Tu mamy narzędzia w postaci pochodnych. Niestety, w wielu przypadkach takie rozwiązanie odpada. Z wiadomych powodów...

Gray: Gdyby jednak można było pochodne stosować... Dla f(x)=(1+1/x)^1+x f'(x) = ( e^ln(1+1/x)x+1 )' = ( e^{(x+1)ln(1+1/x)} )' = (1+1/x)^x+1 ((x+1)ln(1+1/x))' =

	−1/x2
= (1+1/x)x+1 (ln(1+1/x) + (x+1)		) = (1+1/x)x+1 (ln(1+1/x) −1/x)= ...
	1+1/x

_________________________________ wiemy, że e^x>1+x, dla x>0. Stąd: x>ln(1+x) dla x>0 _________________________________ ... = (1+1/x)^x+1 (ln(1+1/x) −1/x) <0 funkcja malejąca. Skoro funkcja f maleje dla x>0 to, z definicji f(n)>f(n+1). To oznacza, że i ciąg maleje...

Gray: Zawsze można też skorzystać z nierówności Bernoulliego: (1+x)ⁿ≥1+nx, n∊N, x≥−1. Tę ostatnią dowodzimy indukcyjnie. Przyjmując a_n= (1+1/n)ⁿ⁺¹ dość łatwo pokazać, że

an+1		1
	= (1+1/n) (1−		)n+1 ≥ nierówność Bernoulliego ≥
an		(n+1)2

	n+1		n+1		n
≥(1+1/n) (1−		) =				=1.
	(n+1)2		n		n+1

Koniec.