ciąg rekurencyjny z sinusem bartek: Mam ciąg dany rekurencyjnie: a₁ ∊ (0,1) a_n+1 = sin a_n Zadaniem jest zbadać jego zbieżność i znaleźć granicę, jeśli istnieje. Wiem że dla x < 1 ⇒ sinx < x Z tego wiem że x_n+1 < x_n a więc ciąg jest malejący. Teraz nie wiem jak wykazać że zbieżny jest do zera. Czy wystarczy rozumowanie: g = lim a_n = lim a_n+1 g = sin g ⇔ g = 0

Gray: Jeszcze musisz zauważyć, że ciąg jest ograniczony od dołu (np. przez 0). Czyli jest zbieżny. Jego granica g spełnia równanie, które podałeś: g=sing. Widać, że g=0 jest jego rozwiązaniem. Pytanie na które pozostało odpowiedzieć jest takie, czy równanie to nie posiada innych rozwiązań? Ponieważ, jak zauważyłeś, dla x∊(0,1) : sinx<x zatem równanie x=sinx w przedziale (0,1) nie posiada rozwiązań. Wniosek: g=0 jest jego granicą.