INDUKCJA Monika2311: Jak wykazać ,że nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ

Monika2311: ?

kyrtap: 1. dla n =1 1² > (1+1)² jest sprzeczność

kyrtap: (1+1) ¹

kyrtap: masz podane założenie dla jakich n

Monika2311: dla n≥3 sory zapomniałam

Gray: Wystarczy wykazać, że dla n≥3:

	n+1		1
3> (		)n = (1+		)n.
	n		n

	1
Stosunkowo łatwo pokażesz to rozpisując wyrażenie (1+		)n ze wzoru dwumianowego Newtona.
	n

kyrtap: 1. dla n =3 3³⁺¹ > (3+1)³ 81> 64 ⇒ PRAWDA 2. T(n+1) (n+1)ⁿ⁺¹⁺¹> (n+1+1)ⁿ⁺¹ (n+1)ⁿ⁺²> (n+2)ⁿ⁺¹

zombi: Dokładnie tak jak mówi Gray, ponadto jeśli dobrze pamiętam możesz szacować

	1		n n	1		1		1
(1+		)n = 1 + 1 + ... +			< 1 + [1 +		+ ...] = 1 + ∑		= 1+2
	n			nn		2		2k

= 3

Gray:

	1		n k		1		n!
(1+		)n = ∑kn				= ∑kn		=
	n				nk		(n−k)!k!nk

	1		n(n−1)....(n−k+1)
=∑kn				≤ ....
	k!		nk

__________________________________

n(n−1)....(n−k+1)		n * ....*n
	≤		= 1
nk		nk

__________________________________

	1		1		1		1		1
...≤∑kn		= 1+1+		+		+		+ ...+		≤
	k!		2		2 *3		2*3*4		2*3*4*...*n

	1		1		1		1
≤ 2+		+		+		+...		≤
	2		2*2		2*2*2		2n−1

	1		1		1		1		1
≤2+		+		+		+...		+		+.... = \\suma szeregu
	2		2*2		2*2*2		2n−1		2n

geometrycznego a₁ = 1/2, q=1/2...\\= 2+1=3. Koniec.