zbieżność ciągu rekurencyjnego bartek: Witam, muszę udowodnić że poniższy ciąg jest zbieżny oraz obliczyć jego granicę.

	1
a1 =
	6

	6an + 6
an+1 =
	an + 7

Zadanie zacząłem od udowodnienia indukcyjnie że ciąg ograniczony przez 2, a potem sprawdziłem jego monotoniczność i policzyłem granicę (wyszła mi właśnie 2). Wszystko niby OK, ale mam wrażenie że robię błąd w dowodzie indukcyjnym, przez co rozwiązanie może być złe. O to dowód: 1) Krok dla n = 1:

	1
a1 =		≤ 2
	6

2) Założenie: a_n ≤ 2 Teza: a_n+1 ≤ 2 Dowód:

	6an + 6		6*2 + 6		18
an+1 =		≤		=		= 2
	an + 7		2 + 7		9

a_n+1 ≤ 2 Czy jeżeli a_n jest zarówno w mianowniku jak i w liczniku, to mogę zamienić je zgodnie z założeniem na 2 bez zmiany znaku "≤"? A może w ogóle źle zabieram się do tego zadania?

Gray: Zabierasz się dobrze, ale dowód − jak sam zauważyłeś − jest zły.

Gray: Ponieważ a_n≥0 (to widać; formalnie należy to udowodnić indukcyjnie) oraz

	6(an+7) − 36		36
an+1 =		= 6 −		≤ 6
	an+7		an+7

zatem ciąg a_n jest ograniczony i z dołu i z góry. Te ograniczenia są bardzo grube i mogą być niewystarczające do wykazania monotoniczności, no ale są Pozostaje do wykazania monotoniczność.

Gray: Można i tak (jeżeli chcesz mieć ograniczenie z góry przez 2): Dowód indukcyjny: zakładamy, że a_n≤2. Wiemy, ża a_n≥0. Wówczas

	1		1		36		36		36
an+7≤9 ⇒		≤		⇒		≤		⇒ 4≤		⇒
	9		an+7		9		an+7		an+7

	36		36
−4≥ −		⇒ 2 ≥ 6−		= an+1 − na podstawie wpisu z 12:42.
	an+7		an+7

Stąd a_n≤2 dla n∊N. To ograniczenie jest już wystarczająco mocne, aby wykazać monotoniczność. Spróbuj sam.

Gray: Monotoniczność:

	6an+6		6an+6 − an2 − 7an
an+1−an =		− an =		=
	an+7		an+7

	an2 +an −6		(an+3)(an−2)
=−		= −		= ...
	an+7		an+7

___________________ ponieważ pokazałem poprzednio, że 0 ≤ a_n ≤ 2, to (a_n+3)(a_n−2) ≤ 0 ___________________ ... ≥0 czyli ciąg jest niemalejący. Jako ograniczony jest więc zbieżny. Do 2, ale to chyba wiesz jak wykazać?

bartek: Ok, dzięki wielkie za pomoc. Już chyba wszystko rozumiem. Żeby wykazać że zbieżny jest do dwa potem po prostu piszę:

	6g + 6
g = lim an = lim an+1 =
	g+7

g² + g − 6 = 0 (g − 2)(g + 3) = 0 Odrzucamy g = −3 bo wiemy że g > 0 Zostaje g = 2 lim a_n = 2 Problem miałem właśnie z tą indukcją, ale widzę że wystarczyło po prostu doprowadzić równanie do trochę innej postaci Co do postu z 12:42, jest tam takie coś:

	36
an+1 = 6 −
	an + 7

Czy mogę już tutaj wykorzystać założenie że a_n≤2, i podstawić:

	36
an+1 ≤ 6 −		= 6−4 = 2 ?
	2 + 7

Nie zmieniam znaku "≤" bo ułamek jest ujemny więc wszystko powinno się zgadzać?

Gray: Tak. Rozpisałem to, żeby nie było wątpliwości.