1 1: LICZE NA WASZA POMOC ! 1) oblicz sume n poczatkowych wyrazow ciagu 8,88,888,... 2)podaj przyklad ciagow an,bn ktore nie maja granic i takich, ze ciag an+bn jest zbiezny 3)oblicz granice ciagu { a1=√2 { an+1=√2an

Gray: Na początek 2) a_n = (−1)ⁿ, b_n = −(−1)ⁿ.

Godzio: a₁ = 8 a₂ = 88 = 8 * 11 = 8 * (10 + 1) a₃ = 888 = 8 * 111 = 8 * (100 + 10 + 1) a_n = 88...88 = 8 * 11...11 = 8 * (10..00 + 10..0 + ... + 1000 + 100 + 10 + 1)

	1 − 10n
an = 8 * (10n−1 + 10n − 1 + ... + 100) = 8 *		=
	1 − 10

8
	* (10n − 1)
9

	8
Sn = a1 + ... + an =		(10n + 10n − 1 + ... + 10 − n) = ...
	9

Gray: Teraz 3) Ograniczoność: a_n ≥ 1 oraz a_n≤2 − dowód indukcyjny (spróbuj − jak będzie problem pomogę) Monotoniczność:

	( √2an − an)( √2an + an)
an+1 − an = √2an − an =		=
	√2an + an

	2an − an2		an2 − 2an +1 − 1
=		= −		=
	√2an + an		√2an + an

	(an−1)2 − 1
= −
	√2an + an

Ponieważ

	(an−1)2 − 1
1≤an≤2 to 0≤an−1≤1 ⇒ (an−1)2≤1 ⇒ (an−1)2 −1 ≤ 0 ⇒ −		≥0
	√2an + an

czyli ciąg a_n jest niemalejący. Jako ograniczony z góry jest zbieżny. Z postaci a_n+1=√2a_n mamy po przejściu z n→∞ a=√2a. Stąd a²=2a czyli a=2 (a=0 odpada bo to nie może być granicą ciągu a_n≥1)