Limes Trinity: Domyślam się, że poniższy przykład trzeba rozwiązywać z twierdzenia o trzech ciągach, ale kompletnie nie wiem, jak to zrobić. Mógłby ktoś mi pomóc i wytłumaczyć? lim ⁿ√4ⁿ+10ⁿ+7 n−>∞

Janek191: b_n = ⁿ√ 4ⁿ + 10ⁿ + 7 Niech a_n = ⁿ√10ⁿ i c_n = ⁿ√3*10ⁿ Mamy a_n ≤ b_n ≤ c_n oraz lim a_n = 10 i lim c_n = 10 n→∞ n→ ∞ więc na podstawie tw. o trzech ciągach lim b_n = 10 n→ ∞

Trinity: dziękuję

Janek191: Jasne wszystko ? lim ⁿ√3*10ⁿ = lim 10* ⁿ√3 = 10*1 = 10 n→∞ n→∞

Trinity: Tak, ten przykład już rozumiem. A w tym przypadku: lim (²ⁿ⁻¹_2n+5)⁻⁷ⁿ = lim (³ⁿ⁺⁵⁻¹_2n+5)⁻⁷ⁿ = lim (1−¹_2n+5)⁻⁷ⁿ co dalej? trzeba to doprowadzić do tej postaci z liczbą e?

Mila:

2n−1		2n+5−6		−6
	=		=1+
2n+5		2n+5		2n+5

	−6
limn→∞(1+		)−7n=
	2n+5

	−6
=limn→∞[(1+		)2n+5−6]−7*(−6)n2n+5= ?
	2n+5

dokończ

Janek191:

	2 n − 1		1   ( 1 − )−7n   2n
an = (		) − 7n =		=
	2 n + 5		( 1 + 52n)−7n

	1   [ ( 1 − )2n] −3,5   2n
=
	5   [(1 + )2n]−3,5   2n

więc

	( e−1)−3,5		e3,5
lim an =		=		= e21
	(e5)−3,5		e− 17,5

n→∞

Trinity: Dziękuję!