Jak rozwiązać nierówność z równaniem kwadratowym pod pierwiastkiem? Z: Witam serdecznie jak rozwiązać nierówność, która ma równanie kwadratowe pod pierwiastkiem? √2+x−x² > x−4

ICSP: "równanie kwadratowe pod pierwiastkiem" √2 + x − x² = 0 > x − 4 1. Ustal dziedzinę.

Z: Δ = 1 + 9 = 9

	1−3
x1 =		= 1
	−2

	1+3
x2 =		= −2
	−2

x∊(1,2) dobrze?

...: a gdzie wcięło ten − przy 2

Z: No tak uciekł mi ten minus w dziedzinie, co potem muszę zrobić? Mogę podnieść obustronnie do kwadratu?

ICSP: D : x ∊ [−1 , 2] W tym przedziale wyrażenie (x−4) przyjmuje wartości tylko ujemne. stąd nierówność jest prawdziwa dla dowolnego x ∊ D Koniec Tylko ustal poprawnie tą dziedzinę

Z: A jak mam taką nierówność: √x+2 > √2x−8 Dziedzina: x∊(−2, 4) i nie wiem co dalej

ICSP: obie strony są dodatnie, wiec możesz podnieść obustronnie do kwadratu.

ICSP: Oczywiście w dziedzinie nawiasy powinny być domknięte. Liczby −2 oraz 4 należą do dziedziny.

Z: Ok wyszło mi tak: √x+2 > √2x−8 / ² x+2 > 2x − 8 x < 10 x∊ ( −2, 4 ) PS. Jak sprawdzić czy lewa i prawa strona jest dodatnia, po wyznaczeniu dziedziny oraz kiedy liczby należą do dziedziny?

J : ..wyznacz jeszcze raz dziedzinę ...

Z: x+2 > 0 2x − 8 < 0 x > −2 2x < − 8 / :2 x < −4 Wyznaczyłem

J : a dlaczego 2x − 8 < 0 ...?

Z: Bo jest po drugiej stronie więc myślałem że trzeba odwrócić znak.

J : .... liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna .. x+2 ≥ 0 i 2x − 8 ≥ 0 ... teraz licz ...

Z: x ≥ −2 2x − 8 ≥ 0 2x ≥ 8 x ≥ 4

J : ... teraz dobrze ... ponieważ dla x = 4 ...nierównośc jest prawdziwa ( √6 > 0 ) .. więc teraz obustronnie do kwadratu ..

Z: Aha, czyli za x podstawiam 4 i sprawdzam czy obie strony są większe od 0 jeżeli tak to mogę podnosić do kwadratu? Wyszło mi: x+2 > 2x − 8 −x > −10 x < 10 x∊<−2, 4> Czy to jest dobrze?

J : ... przecież tamta dziedzina [−2,4] była zła... teraz masz dziedzinę [4, +∞]

Z: Faktycznie.. to x∊<4, 10) ?

J :

Z: Uff zaskoczyło mam jeszcze problem z takim zadaniem:

x2 + 2
	≥ 2
√{x2}+1

Wyznaczam dziedzinę: x² + 1 ≥ 0 (x + 1)(x − 1) ≥ 0 x ≥ −1 x≥ 1 Dx∊ <1, +∞) I co dalej? Mogę usunąć niewymierność z mianownika czy podnieść to do kwadratu?

J : . .. warunek : x² + 1 > 0 ( bo jest w mianowniku) .. a to jest zawsze spełnione ... ... czli możesz pomnozyc obie strony przez pierwiastek ...

Z: Jeżeli pomnożę przez mianownik. To mogę potem do kwadratu żeby pozbyć się pierwiastka? I miałbym wtedy: x⁴ + 4x² + 4 ≥2x² + 1 Dobrze kombinuję?

J : ..prawa strona źle.. przecież 2 też podnosisz do kwadratu...

Z: To wychodzi: x⁴ + 4x² + 4 ≥ 4x² + 4 x⁴ ≥ 0 x ≥ 0 x∊<1, +∞)

J : .... a ile jest np (−3)⁴ ...?

Z: 81

J : ...nierówność: x⁴ ≥ 0 jest prawdziwa dla kazdego x ∊ R...

Z: Ok, dzięki wielkie za pomoc, miłego dnia