d algebra: Niech (G, ·) bedzie grupa z elementem neutralnym e taka, ze a² = e dla kazdego a ∈ G. Pokazac, ze G jest grupa abelowa. Nie wiem czy w ogóle zabierać się za to. Nic nie rozumiem. Chyba trudne to jest zadanie ? Wiem tyle,że grupa zbiór G z działaniem · jest grupą, gdy: 1.Działanie · jest łączne 2.Działanie · ma element neutralny 3.Każdy element do G jest odwracalny 4.Jeśli ponadto działanie · jest przemienne to grupę G nazywamy przemienną lub abelową.

algebra: ?

WueR: Czy to dzialanie wewnetrzne oznacza zwykle mnozenie?

Saizou : WueR raczej nie, bo elementem neutralnym mnożenia jest 1 musisz tylko pokazać przemienność, bo zakładasz że (G,•) jest grupą

Gray: Jeżeli nic nie rozumiesz to faktycznie może być trudne Trzeba pokazać, że ab=ba dla dowolnych elementów a,b∊G. Kropka to dowolne działanie (niekoniecznie mnożenie, tak?). Ponieważ ab∊G (bo działanie jest wewnętrzne) to, na podstawie treści, ab ab = e. Jeżeli "pomnożysz" to równanie przez a z lewej strony oraz przez b z prawej, otrzymasz: aab abb = aeb Ale aa=e, bb=e, aeb=ab (bo e − element neutralny), zatem: e b a e = a b. Czyli b a = a b. Koniec.

algebra: to pod a można i b podstawić ? Bo skąd te b jak było że tylko a ∊ G

Gray: Nie było, że tylko dla a. Było: a²=e dla każdego a∊G. Biorąc a,b∊G wiemy, że ab∊G bo działanie jest wewnętrzne. To pozwala wnioskować, że (ab)(ab) = e.

algebra: Ja znalazłem u siebie takie rozwiązanie: Dla dowolnych a,b ∊ G mamy: (ba)² = e = a² = b² Zatem ab = eabe = b²aba² = n(ba)² = bea = ba, czyli grupa G jest abelowa. Mam kilka pytań do tego: 1.Skąd b ? Jak w zadaniu było tylko, że a ∊ G 2.Dlaczego (ba)² to to samo co a² lub b² ? 3.Dlaczego ab = eabe ? Skąd te e z lewej i z prawej ? Dzięki

algebra: ?

WueR: Bierzemy b∊G. Zapis jest czesto pomijany, bo jest to dosc oczywiste, ze jezeli udowadniamy, ze ab=ba, tzn. grupa jest abelowa, to bierzemy zarowno a jak i b ze zbioru G. Dzialanie jest wewnetrzne, wiec takze ab ∊ G. Ale dla kazdego elementu z G (w tym i ab) mamy, ze jego kwadrat jest rowny elementowi neutralnemu, stad rowniez (ab)² = e. (ba)² to to samo, co a² lub b², bo (ba)²=e, a²=e, b²=e. Moze ten dowod bedzie dla Ciebie latwiejszy: (G,·) jest grupa, wiec ∀a∊G∃a⁻¹∊G: a·a⁻¹=e. Stad a·a⁻¹=e=a², wiec a·a⁻¹ = a². Mnozymy lewostronnie przez a⁻¹ i otrzymujemy (a⁻¹·a)·a⁻¹ = (a⁻¹·a)·a, redukujac dostajemy a=a⁻¹, wiec dalej: b·a = (b·a)⁻¹ = a⁻¹·b⁻¹ = a·b.

algebra: już zaczynam rozumieć, tylko skąd ab = eabe skąd te e ?

Saizou : e to element neutralny mnożenia, wiec możemy go sobie powtórzyć nieskończenie wiele razy

algebra: aha dzięki