Wykazać że :) Moniczka2094: Wykazać, że jeśli ⁿ√|U_n|→q<1, to U_n→0 nad każdą → powinno być że n→∞ ale nie wiedziałam jak to zapisać z góry dzięki

Hurwitz: Można np. tak: skoro |U_n|^1/n → q < 1 to z definicji granicy od pewnego n, | |U_n|^1/n − q| ≤ (1−q)/2 . Stąd |U_n|^1/n − q ≤ (1−q)/2 ⇒ |U_n|^1/n ≤ (1−q)/2 + q = (1+q)/2 ⇒ |U_n|≤ ((1+q)/2)ⁿ. Ponieważ q<1 to (1+q)/2 < 1, czyli ((1+q)/2)ⁿ→0. Stąd: 0≤ |U_n|≤ ((1+q)/2)ⁿ → 0 − z tw. o trzech ciągach |U_n|→0, czyli U_n→0.