granice kyrtap: Oblicz granicę ciągu lim sinπ √n²+1

kyrtap:

kyrtap:

Mila: Może tak? lim_n→∞ (sin(π−π√n²+1)=

	1+√n2+1
=limn→∞ sin[π*(1−√n2+1)]= mnożę argument przez
	1+√n2+1

	−n2
= limn→∞ sin[π*		]= dzielę licznik i mianownik przez n
	1+√n2+1

	π*n
=limn→∞(−sin		)=0
	1   +√1+(1/n2) n

mianownik dąży do 1 a sin (nπ)=0 dla n∊N Może ktoś tu jeszcze spojrzy.

Mila: ?

jakubs: lim_n→∞ sin(π*√n²+1)=[sin(∞)], więc tutaj chyba granicy nie będzie, bo funkcja będzie przyjmowała wartości od −1 do 1.

Mila: Ja myslę tak: Dla n→∞ wyrażenie √n²+1 niewiele różni się od n, bo co znaczy jeden w porównaniu z nieskończonością. a sin (kπ)=0, więc może to prawda , co napisałam.

razor: √n²+1 = 2k, k ∊ Z n²+1 = 4k² n = √4k²−1 a_k = √4k²−1

	1
√n2+1 = 2k+
	2

	1
n2+1 = 4k2+2k+
	4

	3
n = √4k2+2k−
	4

	3
bk = √4k2+2k−
	4

Dawno nie robiłem granic bo nie mam ich jeszcze na uczelni, ale czy to że te dwa podciągi mają różne granice (odpowiednio 0 i 1) nie znaczyłoby że granica sin(π*√n²+1) nie istnieje?

jakubs: Pani Mila ma rację http://math.stackexchange.com/questions/170780/does-sum-n-ge1-sin-pi-sqrtn21-converge-diverge

razor: @jakubs tam pytają o sumę szeregu a nie o granicę

Mila: Poczekajmy na kogoś, kto jest na bieżąco z granicami. Może Eta,PW pamiętają. Dlaczego na początku działu, masz takie trudne granice.

Eta: Witam sin(πn)=0 i wzór na różnicę sinusów

	π		π
sin(π√n2+1) −0 = sin(π√n2+1)−sin(πn) = 2sin		(√n2+1−n)*cos		(√n2+1+n)=
	2		2

	π		1		π
2sin		(		)*cos		(√n2+1−n)= 0
	2		√n2+1+n		2

Mila: No i jest granica. Pozdrawiam.

Hurwitz: @Mila: ostatnie przejście z godz. 20:31 − takie sobie