Metryka
Marcin:
Sprawdzić czy to jest metryka:
x=(x1,x2) y=(y1, y2)
|x2 − y2| dla x1=y1
ρ(x,y) =
|x2| + |x1 − y1| + |y2| dla x1≠y1
1.
ρ(x,y) ≥0 − dla jednego i drugiego przypadku oczywiste.
ρ(x,y)=0 Dla x=y − jak mam to zapisać? Po prostu |x2−x2|=0?
2.
ρ(x,y)=ρ(y,z):
2 a) |x2−y2]=|y2−x2| − prawda, bo |x|=|−x|
b) |x2|+|x1−y1| + |y2| = |y2| + |y1−x1|+|x2|
⇒ |x2−y2]=|y2−x2| − to samo co w 2a)
3. ρ(x,y) ≤ ρ(x,z) + ρ(z,y)
Tutaj pojawia się problem, bo wiem, że mam to rozwiązać aż dla czterech przypadków, ale
dlaczego tak jest?
26 paź 19:06
Marcin: 3.
|x2−y2| ≤ |x2−z2| + |z2−y2|
|x2 − z2 + z2 − y2| ≤ |x2−z2| + |z2−y2|
Jeden z przypadków jest spełniony. Teraz jeszcze trzy..
26 paź 19:09
Marcin: x2=y2≠z2:
|x2−y1| ≤ |x2| + |x1−z1| + |z2| +|z2|+|z1−y1|+|y2|
Jak to udowodnić?
26 paź 19:14
b.: @19:06, 1.:
powinieneś pokazać, że ρ(x,y)=0 <=> x=y.
w zasadzie obie implikacje są jasne; dla dowodu <= wystarczy policzyć ρ(x,x)
@19:14, środkowa linijka:
powinno być |x2−y2| na początku, a wtedy nierówność jest jasna
dobrze zinterpretować geometrycznie: to jest tzw. metryka−rzeka, oś x1 (powiedzmy, pozioma)
jest rzeką, jak chcemy z punktu (x1,x2) przejść do (y1,y2), to idziemy prostopadle do
rzeki:
1. jeśli x1=y1, to bezpośrednio do punktu (y1,y2),
2. w przeciwnym razie, najpierw do rzeki, potem wzdłuż rzeki aż osiągniemy (y1,0), i znowu
prostopadle do (y1,y2)
26 paź 22:31
Marcin: Dzięki za odpowiedź.
Dla mnie zmiana na |x
2−y
2| niczego nie zmienia..
|x
2−y
2|≤ |x
2|+|x
1−z
1|+2|z
2| + |z
1−y
1|+ |y
2| − nadal nie wiem jak to udowodnić
26 paź 22:42
Marcin:
|x2−y2| ≤ |x2| + |−y2|
Zostaje nam..
0 ≤ |x1−z1| + 2|z2| + |z1−y1
Dwie są prawdziwe, więc cała nierówność również jest prawdziwa. Dobrze?
26 paź 23:00
b.: wystarczą składniki |x2| i |y2| po prawej
26 paź 23:08
b.: byłeś szybszy, tak
26 paź 23:08
Marcin: Ale tak jak ja to napisałem też jest ok, prawda?
26 paź 23:09
b.: tak
26 paź 23:12
Marcin: Ok, fajowo
A ten przypadek?
x
1=y
1=z
1:
|x
2| + |x
1 − y
1| + |y
2| ≤ |x
2| + |x
1 − z
1| + |z
2| + |z
2| + |z
1 − y
1| + |y
2|
|x
1 − y
1| ≤ |x
1 − z
1| + |z
2| + |z
2| + |z
1 − y
1|
|x
1 −z
1+z
1 − y
1| ≤ |x
1 − z
1| + |z
2| + |z
2| + |z
1 − y
1|
|x
1 −z
1+z
1 − y
1| ≤ |x
1 − z
1| + |z
1 − y
1|
i
0 ≤ 2|z
1|
Dobrze?
26 paź 23:14
b.: ja idę spać, może kto inny sprawdzi − dobranoc
26 paź 23:15
Marcin: Dobranoc, dzięki za pomoc
26 paź 23:17
Kacper: a to ma byc tylko w kolumnie liczby "3?
26 paź 23:22
Marcin: Nie rozumiem pytania.
26 paź 23:27
b.: @23:14:
to jest raczej przypadek x1, y1, z1 parami róznych, w zasadzie dobrze, choć takie
rozwiązanie, w którym zaczyna się od tego, co trzeba pokazać, jest w tym przypadku mało
czytelne, lepiej byłoby moim zdaniem napisać sobie cel (pierwszą linijkę) a potem wyjść od
lewej strony i dojść do prawej
27 paź 10:13