Powłoka liniowa Amasend: Mam kłopot ze zrozumieniem tego zadania: Czy R⁴ = lin A { (1,1,0,−1), (0,0,1,0), (2,2,1,−2), (1,1,2,−1) } ? Jak mam to sprawdzić? Próbuję to wykonać w następujący sposób: α(1,1,0,−1) + β(0,0,1,0) + γ(2,2,1,−2) + δ(1,1,2,−1) = (x₁,x₂,x₃,x₄) Z tego tworzę układ równań. I co dalej? Kiedy to jest prawdą a kiedy nie?

b.: odpowiedź będzie pozytywna, jeśli dla każdych (x₁,x₂,x₃,x₄) powyższy układ będzie miał rozwiązanie (α,β,γ,δ)

Hurwitz: Nie wiem jak dużo wiesz. Wystarczy utworzyć macierz, której wiersze to te wektory. Jeżeli jej wyznacznik jest różny od zera, odpowiedź jest pozytywna; jeżeli zero − negatywna. Wyznacznik wyliczysz bardzo łatwo, ze względu na postać wektora (0,0,1,0).

Amasend: Hmm.. Więc jeśli wychodzi mi zależność np.: x₁ = x₂ albo x₁ = −x₄ to już mogę twierdzić, że to nie jest prawda? Są zależne od siebie.. sam nie wiem, da się to jakoś szybko pokazać za pomocą macierzy? Jak próbuję macierzą to dwa wektory mi się całkowicie zerują.

Amasend: Hmm ok, mógłbym to tak uczynić (macierzą), ale wykładowca nam zabrania robić sposobami, których większość jeszcze nie zna... więc muszę liczyć na piechotę, ale sprawdzę dla pewności wynik wyznacznika.

Hurwitz: Popatrz: (1,1,0,−1)+2(0,0,1,0)=(1,1,2,−1). To oznacza, że te cztery wektory są liniowo zależne; nie wyznaczysz więc przy ich pomocy przestrzeni czterowymiarowej R⁴. Prościej się nie da tego rozwiązać