Znajdź dla jakiego parametru k dany układ równań ma: Marcin: Znajdź dla jakiego parametru k dany układ równań ma: 1 rozwiązanie/ więcej niż 1/ brak rozwiązań. Skorzystaj ze wzorów Cramera. x+0+−3z=−3 2x+ky−z=−2 x+2y+kz=1 Z góry dzieki za pomoc

Marcin: EDIT pierwsze równanie: x+0−3z=−3

Marcin: up

Mila: 1) 1 0 −3 ||−3 2 k −1 || −2 1 2 k || 1 W=k²+3k−10⇔k≠2 i k≠−5 2)W_x −3 0 −3 −2 k −1 1 2 k W_x=−3k²+3k+6 Licz dalej W_y,W_z W≠0 dokładnie jedno rozwiązanie

	Wx
x=
	W

	Wy
y=
	W

	Wz
z=
	W

Następnie sprawdź co się dzieje, gdy k=2 lub k=−5

Marcin: W odpowiedziach jest ze dla k=2 jest wiecej niz jedno rozwiazanie tylko ja nie rozumiem jakim cudem skoro wtedy W=0, moze mi ktos to wytlumaczyc?

Marcin: chodzi mi o to, czy pierw za k podstawiac, czy pierw skracać mianownik z licznikiem?

Mila: Ile wynosi W_y i W_z ?

Mila: W=(x−2)*(x+5) W_x=(x+1)*(x−2) i W_y=... W_z=... napisz to wyjasnię.

Marcin: Wy= 4(k−2) Wz tyle samo

Mila: W takim razie :

	(k+1)*(k−2)
x=
	(k+5)*(k−2)

	4*(k−2)
y=
	(k+5)*(k−2)

	(4*(k−2)
z=
	(k+5)*(k−2)

a) jeżeli k=2 to w każdym przypadku masz sytuację:

	3*0
x=		co możesz zapisać tak 0*x=0 niezależnie od wyboru x L=p jest nieskończenie wiele
	7*0

rozwiązań b)k=−5 Masz tak :

	−4
x=		sprzeczność brak rozwiązań, bo wtedy miałbyś
	0*(−7)

0*x=−4 co jest niemożliwe.

Marcin: a ok teraz jako tako rozumiem, tylko zawsze myslalem ze skoro w mianowniku jest 0 to automatycznie równanie jest sprzeczne, ale widac sie mylilem

Mila:

Marcin: jeszcze mam 2 przyklad, w ktorym mi wynik nie wychodzi x+2y+kz=1 2x+ky+8z=3

Marcin: wgle to w tym przykladzie mozna ze wzorow Cramera korzystac?

5-latek: bo 2 rownania i 3 niewiadome

Marcin: to jakim innym sposobem mozna to zrobic?

Marcin: .

5-latek: Nie wiem czy to dobry pomysl ale moze pomnoz pierwsze rownanie przez (−2) i dodaj stronami

Hurwitz: Macierz uzupełniona układu ma postać: 1 2 k | 1 2 k 8 | 3 Jej rząd równy 2 (nie zależy od k) (pierwsza i ostatnia kolumna tworzą macierz o wyznaczniku niezerowym). Zbadaj rząd macierzy 1 2 k 2 k 8 w zależności od k (widać np. że dla k=4 ten rząd to 1 − układ wyjściowy jest sprzeczny). Dalej Ty

Marcin: a metodą eliminacji Gausa się da? bo chyba tak to mam zrobic

Marcin: dobra juz kapuje o co chodzi, tylko wyjasnij mi jak wyliczyles ten rzad w macierzy uzupelnionej, nie rozumiem tej czesci "pierwsza i ostatnia kolumna tworzą macierz o wyznaczniku niezerowym)."

Marcin: jednego rozwiązania nie moze byc, gdyz rz A i rz U ≠ ilosci zmiennych, a nieskonczona liczba rozwiazan jest dla k≠4, dobrze?

Marcin: a przy okazji jak zapisywac takie cos ze dla k≠4 jest nieskonczona liczba rozwiazan? podstawic cokolwiek poza 4 i tak to pokazac? chodzi mi o to zeby zaliczyli mi takie cos na kolokwium

Hurwitz: Co to jest rząd macierzy?

Marcin: maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów będących wierszami albo kolumnami tej macierzy

Hurwitz: Tak. Czyli, ponieważ pierwsza i ostatnia kolumna macierzy z godz. 11:10 są liniowo niezależne, to rząd wynosi 2.

Marcin: dobra kapuje, a co z resztą pytan?